Логотип Репа AI Репа AIподготовка к ЕГЭ
Войти Попробовать бесплатноПопробовать
← Все задания: Математика (профильный уровень)
Задание09

Производная и исследование функций

ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 9 из 20

ЕГЭ-2027 · проект ФИПИ · сверено 19.09.2026
Новая нумерация: 20 заданий вместо 19.

Ответ: Краткий числовой ответ

Что проверяет задание

Смысл производной и первообразной, касательная, монотонность, экстремумы и наибольшее/наименьшее значение функции.

Задание объединяет чтение графиков, смысл производной и исследование функции. Сначала определите, что требуется: точка экстремума, значение функции или скорость изменения.

Как решать

  1. Первым делом прочитайте, что на рисунке: f(x) или f′(x). Это меняет всю логику.
  2. Если дан f′(x), проверяйте знак: положительная производная означает рост, отрицательная — убывание. Нуль производной лишь кандидат в экстремум: например, у x³ в нуле экстремума нет.
  3. У дифференцируемой функции производная во внутренней точке локального экстремума равна нулю. Обратное утверждение неверно; для максимума ищите смену знака с плюса на минус.
  4. Касательная: f′(x₀) равен угловому коэффициенту касательной; параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.
  5. Физический смысл: скорость — производная координаты по времени; подставьте момент времени в v(t) = x′(t).
  6. Для наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на отрезке сравните значения на концах и во внутренних критических точках, включая точки, где производная не существует.

Попробуйте на примере

Авторские примеры: упражнения тренируют отдельный приём, остальные показывают формат задания.

Упражнение 1 · Касательная и параметр

Прямая y = 3x + 1 касается графика функции f(x) = x² + 5x + c. Найдите c.
Показать решение и ответ
  1. В точке касания производная равна угловому коэффициенту: f′(x) = 2x + 5 = 3, откуда x = −1.
  2. Значения функций в точке касания совпадают: f(−1) = 1 − 5 + c = c − 4, а y(−1) = −3 + 1 = −2.
  3. c − 4 = −2, значит c = 2.
Ответ2

Формат задания 2 · Физический смысл производной

Материальная точка движется по закону x(t) = t² − 3t + 5, где x — координата в метрах, t — время в секундах. Найдите её скорость (в м/с) в момент t = 4 с.
Показать решение и ответ
  1. Скорость — производная координаты: v(t) = x′(t) = 2t − 3.
  2. v(4) = 2·4 − 3 = 5 м/с.
Ответ5

Формат задания 3 · Знак производной и экстремум

Функция f непрерывна на (−2; +∞). Её производная положительна на (−2; 3) и отрицательна на (3; +∞). Найдите точку максимума.
Показать решение и ответ
  1. До x = 3 функция возрастает (производная положительна), после — убывает.
  2. Смена роста на убывание — точка максимума: x = 3.
Ответ3

Формат задания 4 · Наименьшее значение на отрезке

Найдите наименьшее значение функции y = x³ − 27x + 5 на отрезке [0; 4].
Показать решение и ответ
  1. y′ = 3x² − 27 = 0, откуда x = ±3; в отрезок [0; 4] попадает только x = 3.
  2. Считаем значения: y(0) = 5; y(3) = 27 − 81 + 5 = −49; y(4) = 64 − 108 + 5 = −39.
  3. Наименьшее значение: −49.
Ответ−49

Где легко ошибиться

График производной прочитан как график функции

Самая массовая ошибка задания. Если на рисунке f′(x), то максимум функции — не «горб» на картинке, а точка, где f′ меняет знак с плюса на минус. Подпишите на черновике над осью: «здесь f растёт», «здесь убывает».

Угловой коэффициент со знаком минус

Касательная, наклонённая «вниз», имеет отрицательный коэффициент. Считая по клеткам через прямоугольный треугольник, не забудьте поставить знак по направлению наклона.

Точка касания не проверена

Прямая касается графика, когда совпадают и значения функций, и их производные. Найти x из f′(x) = k — только полшага: не забудьте условие прохождения прямой через точку касания.

Частые вопросы

Чем точка минимума отличается от значения?

Точка — это x, значение — f(x). На отрезке обязательно сравните функцию также на его концах.

Что означает первообразная?

Если F′ = f, функция F — первообразная f. Она возрастает там, где f > 0; изменение F на отрезке задаётся определённым интегралом f, с учётом знака.

Закрепите знания на практике

В Репе — короткие уроки, проверка ответа и помощь Помогашки.

Попробовать бесплатно

Смежные задания

12Графики функций
Об источниках и редакции

Нумерация, форматы ответов и баллы сверены с опубликованными проектами ФИПИ на 2027 год. Примеры авторские: часть показывает формат задания, часть тренирует отдельный приём. Указанное время — учебный ориентир, а не норматив ФИПИ. После утверждения документов нужна повторная сверка.

Источники: ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы · ФИПИ: планируемые изменения ЕГЭ-2027 · Комплект проекта по предмету (архив)

Сверка содержания: . Статус документов — проект.

Обновлено