Логотип Репа AI Репа AIподготовка к ЕГЭ
Войти Попробовать бесплатноПопробовать
← Все задания: Математика (профильный уровень)
Задание03

Стереометрия

ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 3 из 20

ЕГЭ-2027 · проект ФИПИ · сверено 19.09.2026
Новая нумерация: 20 заданий вместо 19.

Ответ: Краткий числовой ответ

Что проверяет задание

Знание формул объёма и площади поверхности призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара; умение работать с отношениями объёмов при изменении размеров и с комбинациями тел.

Задание 3 — короткая стереометрия: найти объём, площадь поверхности или элемент тела, либо понять, как изменится объём при изменении размеров. Решается пятью формулами объёма и теоремой Пифагора. Любимый сюжет составителей — отношения: во сколько раз изменится объём, какая часть объёма отсечена.

Как решать

  1. Определите тело: призма/цилиндр (V = S·h), пирамида/конус (V = ⅓·S·h), шар (V = 4/3·πR³).
  2. Выпишите известные элементы; недостающие (высоту, апофему, диагональ) ищите через теорему Пифагора.
  3. Для вопросов «во сколько раз изменится»: объём растёт как куб линейного размера, площадь — как квадрат.
  4. Сравнивая тела с общими элементами, используйте отношения: конус с тем же основанием и высотой — треть цилиндра.
  5. Проверьте, что спрошено: объём, площадь полной или боковой поверхности — это разные формулы.

Попробуйте на примере

Авторские примеры: упражнения тренируют отдельный приём, остальные показывают формат задания.

Формат задания 1 · Изменение объёма конуса

Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 3 раза, а высоту оставить прежней?
Показать решение и ответ
  1. V = ⅓·πr²·h — радиус входит в формулу в квадрате.
  2. При замене r на 3r объём умножается на 3² = 9.
Ответ9

Формат задания 2 · Куб: от площади поверхности к объёму

Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объём.
Показать решение и ответ
  1. Поверхность куба — 6 граней: площадь одной грани 24 ÷ 6 = 4.
  2. Ребро куба: a = √4 = 2.
  3. Объём: V = a³ = 8.
Ответ8

Формат задания 3 · Объём правильной пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, высота равна 5. Найдите объём пирамиды.
Показать решение и ответ
  1. Площадь основания: S = 6² = 36.
  2. V = ⅓ · S · h = ⅓ · 36 · 5 = 60.
Ответ60

Где легко ошибиться

Потеряна одна треть у пирамиды и конуса

У «заострённых» тел V = ⅓·S·h. Забытая треть завышает ответ втрое — а проверяющая система не прощает. Мнемоника: остриё — треть.

Радиус и диаметр

Во всех формулах стоит радиус. Если в условии дан диаметр шара или основание цилиндра «диаметром 10» — сначала делите на два, иначе объём шара завысится в 8 раз.

Линейное увеличение применено к объёму напрямую

Увеличили все рёбра в k раз — объём вырос в k³ раз, площадь поверхности в k² раз. Увеличили только высоту — объём вырос ровно в k раз. Смотрите, что именно меняется.

Частые вопросы

Чем задание 3 профиля отличается от стереометрии части 2?

Задание 3 — одноходовая подстановка в формулу объёма или простое отношение. Задание 15 из части 2 — полноценная задача с доказательством и построением: углы, расстояния, сечения.

Что делать с π в ответе?

В профильном ЕГЭ ответ — целое число или конечная десятичная дробь, поэтому условия строятся так, чтобы π сократилось: «объём одного тела делить на объём другого» или «V/π». Если π осталось в ответе — перечитайте вопрос.

Закрепите знания на практике

В Репе — короткие уроки, проверка ответа и помощь Помогашки.

Попробовать бесплатно

Смежные задания

02Векторы 15Стереометрическая задача
Об источниках и редакции

Нумерация, форматы ответов и баллы сверены с опубликованными проектами ФИПИ на 2027 год. Примеры авторские: часть показывает формат задания, часть тренирует отдельный приём. Указанное время — учебный ориентир, а не норматив ФИПИ. После утверждения документов нужна повторная сверка.

Источники: ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы · ФИПИ: планируемые изменения ЕГЭ-2027 · Комплект проекта по предмету (архив)

Сверка содержания: . Статус документов — проект.

Обновлено