ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 3 из 19
Задание 3 ЕГЭ по математике (профильный уровень) — коротко
Тема
Стереометрия
Номер в работе
3 из 19
Первичных баллов
1
Время на решение
~7 мин
Задание 3 — короткая стереометрия: найти объём, площадь поверхности или элемент тела, либо понять, как изменится объём при изменении размеров. Решается пятью формулами объёма и теоремой Пифагора. Любимый сюжет составителей — отношения: во сколько раз изменится объём, какая часть объёма отсечена.
Что проверяет задание 3
Знание формул объёма и площади поверхности призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара; умение работать с отношениями объёмов при изменении размеров и с комбинациями тел.
Как решать: алгоритм
Определите тело: призма/цилиндр (V = S·h), пирамида/конус (V = ⅓·S·h), шар (V = 4/3·πR³).
Выпишите известные элементы; недостающие (высоту, апофему, диагональ) ищите через теорему Пифагора.
Для вопросов «во сколько раз изменится»: объём растёт как куб линейного размера, площадь — как квадрат.
Сравнивая тела с общими элементами, используйте отношения: конус с тем же основанием и высотой — треть цилиндра.
Проверьте, что спрошено: объём, площадь полной или боковой поверхности — это разные формулы.
Где теряют баллы
Потеряна одна треть у пирамиды и конуса
У «заострённых» тел V = ⅓·S·h. Забытая треть завышает ответ втрое — а проверяющая система не прощает. Мнемоника: остриё — треть.
Радиус и диаметр
Во всех формулах стоит радиус. Если в условии дан диаметр шара или основание цилиндра «диаметром 10» — сначала делите на два, иначе объём шара завысится в 8 раз.
Линейное увеличение применено к объёму напрямую
Увеличили все рёбра в k раз — объём вырос в k³ раз, площадь поверхности в k² раз. Увеличили только высоту — объём вырос ровно в k раз. Смотрите, что именно меняется.
Примеры с решением
Пример 1 · Изменение объёма конуса
Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 3 раза, а высоту оставить прежней?
V = ⅓·πr²·h — радиус входит в формулу в квадрате.
При замене r на 3r объём умножается на 3² = 9.
Ответ9
Пример 2 · Куб: от площади поверхности к объёму
Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объём.
Поверхность куба — 6 граней: площадь одной грани 24 ÷ 6 = 4.
Ребро куба: a = √4 = 2.
Объём: V = a³ = 8.
Ответ8
Пример 3 · Объём правильной пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, высота равна 5. Найдите объём пирамиды.
Площадь основания: S = 6² = 36.
V = ⅓ · S · h = ⅓ · 36 · 5 = 60.
Ответ60
Частые вопросы
Чем задание 3 профиля отличается от стереометрии части 2?
Задание 3 — одноходовая подстановка в формулу объёма или простое отношение. Задание 14 из части 2 — полноценная задача с доказательством и построением: углы, расстояния, сечения.
Что делать с π в ответе?
В профильном ЕГЭ ответ — целое число или конечная десятичная дробь, поэтому условия строятся так, чтобы π сократилось: «объём одного тела делить на объём другого» или «V/π». Если π осталось в ответе — перечитайте вопрос.
Как тренировать задание 3?
Серия на каждую формулу объёма, затем серия на отношения (увеличение размеров, отсечённые части, вписанные тела). Пифагор для высот и диагоналей должен быть доведён до автоматизма.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык:
бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
