Логотип Репа AI Репа AIподготовка к ЕГЭ
Войти Попробовать бесплатноПопробовать
← Все задания: Математика (профильный уровень)
Задание14

Тригонометрическое уравнение

ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 14 из 20

ЕГЭ-2027 · проект ФИПИ · сверено 19.09.2026
Новая нумерация: 20 заданий вместо 19.

Ответ: Развёрнутое решение с обоснованием

Что проверяет задание

Умение решать тригонометрические уравнения (замена переменной, разложение на множители, формулы двойного угла) и отбирать корни, принадлежащие заданному отрезку.

Задание 14 открывает часть с развёрнутым ответом и стоит 2 балла: пункт а) — решить уравнение, пункт б) — отобрать корни на отрезке. Уравнения сводятся к простейшим двумя приёмами: заменой переменной (t = sin x или t = cos x) и разложением на множители. Отбор корней — тригонометрическая окружность или двойное неравенство; балл за пункт б) даётся только при обоснованном отборе.

Как решать

  1. Приведите уравнение к одной функции одного аргумента: sin²x замените через 1 − cos²x, sin 2x — через 2 sin x cos x.
  2. Сделайте замену t = sin x (или cos x) и решите квадратное уравнение; отбросьте корни вне [−1; 1].
  3. При разложении на множители приравняйте каждый к нулю. Делить на выражение можно лишь после отдельного рассмотрения случая, когда оно равно нулю.
  4. Запишите серии решений: sin x = a → x = (−1)ᵏ·arcsin a + πk; cos x = a → x = ±arccos a + 2πk.
  5. Отберите корни на отрезке: отметьте серии на тригонометрической окружности или решите двойное неравенство для каждого k.

Попробуйте на примере

Авторские примеры: упражнения тренируют отдельный приём, остальные показывают формат задания.

Упражнение 1 · Замена переменной

а) Решите уравнение 2cos²x − cos x − 1 = 0. б) Найдите корни на отрезке [−2π; −π/2].
Показать решение и ответ
  1. Замена t = cos x: 2t² − t − 1 = 0, корни t = 1 и t = −1/2.
  2. cos x = 1 → x = 2πk; cos x = −1/2 → x = ±2π/3 + 2πk.
  3. Отбор на [−2π; −π/2]: из первой серии подходит x = −2π; из второй — x = −4π/3 (это 2π/3 − 2π) и x = −2π/3.
  4. Ответ б): −2π; −4π/3; −2π/3.
Ответа) 2πk; ±2π/3 + 2πk. б) −2π; −4π/3; −2π/3; k ∈ ℤ

Упражнение 2 · Разложение на множители

Решите уравнение sin 2x = cos x.
Показать решение и ответ
  1. sin 2x = 2 sin x cos x, переносим: 2 sin x cos x − cos x = 0.
  2. cos x (2 sin x − 1) = 0.
  3. cos x = 0 → x = π/2 + πk; sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk.
Ответπ/2 + πk; π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk; k ∈ ℤ

Упражнение 3 · Отбор корней двойным неравенством

Из серии x = π/6 + 2πk отберите корни, принадлежащие отрезку [2π; 4π].
Показать решение и ответ
  1. Двойное неравенство: 2π ≤ π/6 + 2πk ≤ 4π.
  2. Вычитаем π/6 и делим на 2π: 11/12 ≤ k ≤ 23/12.
  3. Целое k = 1: x = π/6 + 2π = 13π/6.
Ответ13π/6

Где легко ошибиться

Деление на cos x теряет корни

В уравнении sin 2x = cos x нельзя делить на cos x: корни серии cos x = 0 исчезнут. Переносите всё в одну часть и выносите общий множитель: cos x(2 sin x − 1) = 0.

Корень замены вне [−1; 1] не отброшен

Если после замены t = sin x получилось t = 2 — эта ветка пустая: синус не бывает больше 1. Записать x = arcsin 2 — грубая ошибка, обнуляющая пункт а).

Отбор корней без обоснования

Ответ пункта б), выписанный без окружности или неравенства, эксперт не засчитает. Покажите механизм отбора: окружность с отмеченной дугой или явное неравенство −2π ≤ x ≤ −π/2 для каждой серии.

Частые вопросы

Как оценивается задание 14?

Максимум 2 балла за обоснованное решение обоих пунктов. За верное решение пункта а) предусмотрен 1 балл; другие случаи частичного оценивания указаны в критериях конкретного варианта.

Каким способом лучше отбирать корни?

Оба способа равноправны: тригонометрическая окружность нагляднее и быстрее для отрезков длиной до 2π, двойное неравенство надёжнее для длинных отрезков. Выберите один и доведите до автоматизма.

Закрепите знания на практике

В Репе — короткие уроки, проверка ответа и помощь Помогашки.

Попробовать бесплатно

Смежные задания

07Простейшие уравнения 08Вычисления и преобразования
Об источниках и редакции

Нумерация, форматы ответов и баллы сверены с опубликованными проектами ФИПИ на 2027 год. Примеры авторские: часть показывает формат задания, часть тренирует отдельный приём. Указанное время — учебный ориентир, а не норматив ФИПИ. После утверждения документов нужна повторная сверка.

Источники: ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы · ФИПИ: планируемые изменения ЕГЭ-2027 · Комплект проекта по предмету (архив)

Сверка содержания: . Статус документов — проект.

Обновлено