Задание 14 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Стереометрическая задача
Задание 14 — полноценная стереометрическая задача на 3 балла из двух пунктов: а) доказать (перпендикулярность, параллельность, свойство сечения), б) вычислить угол или расстояние. Решать можно двумя школьными путями: «чистой» геометрией (признаки перпендикулярности, теорема о трёх перпендикулярах) или методом координат, который сводит всё к формулам из курса 10–11 класса.
Баллы: 3Время: ~25 минЗадание 14 из 19
Что проверяет задание 14
Умение доказывать утверждения о взаимном расположении прямых и плоскостей и вычислять углы и расстояния в пространстве — геометрически или методом координат.
Как решать: алгоритм
Постройте большой аккуратный чертёж; отметьте равные отрезки и прямые углы.
Для доказательства используйте признаки: прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна двум пересекающимся прямым в ней; теорема о трёх перпендикулярах.
Угол между прямыми переносите параллельным переносом в один треугольник и считайте по теореме косинусов.
Если конфигурация «прямоугольная» (куб, прямая призма) — вводите координаты: угол и расстояние считаются по формулам через векторы.
Пишите обоснование каждого шага: «по теореме о трёх перпендикулярах», «как диагонали равных квадратов» — эксперт оценивает логику, а не только ответ.
На чём срезаются: типовые ловушки
Пункт а) «доказан» ссылкой на очевидность
«Видно из рисунка» — не доказательство, балл не дадут. Каждое утверждение должно опираться на определение или теорему: назовите две пересекающиеся прямые, которым перпендикулярна ваша прямая.
Угол между прямыми больше 90°
Угол между прямыми по определению не превышает 90°. Если теорема косинусов дала тупой угол — ответ равен смежному с ним острому: возьмите модуль косинуса.
Расстояние подменено длиной наклонной
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, а не любого отрезка до плоскости. Обоснуйте, что построенный отрезок именно перпендикулярен: без этого вычисление не засчитают.
Примеры с решением
Пример 1. Угол между скрещивающимися прямыми в кубе
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁.
BC₁ параллельна AD₁ (соединяют соответственные вершины равных граней), значит искомый угол равен углу между AB₁ и AD₁.
Треугольник AB₁D₁ состоит из диагоналей равных квадратов-граней: AB₁ = AD₁ = B₁D₁ = a√2 — он равносторонний.
Угол D₁AB₁ = 60°.
Ответ: 60°
Пример 2. Расстояние от вершины куба до плоскости
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDA₁.
Рассмотрим пирамиду A·BDA₁ с вершиной A: рёбра AB, AD, AA₁ попарно перпендикулярны и равны 1.
Её объём: V = ⅙ (треть произведения площади прямоугольного основания ½·1·1 на высоту 1).
Основание BDA₁ — равносторонний треугольник со стороной √2, его площадь S = √3/2.
Из V = ⅓·S·d: ⅙ = ⅓ · (√3/2) · d, откуда d = 1/√3 = √3/3.
Ответ: √3/3
Пример 3. Объём правильной пирамиды через Пифагора
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 6, боковое ребро равно √34. Найдите объём пирамиды.
Диагональ основания: 6√2, половина диагонали: 3√2.
Высота из Пифагора: h² = 34 − (3√2)² = 34 − 18 = 16, h = 4.
V = ⅓ · 36 · 4 = 48.
Ответ: 48
Частые вопросы
Геометрический метод или метод координат — что выбрать?
Оба — школьные и равноправные для эксперта. Координаты выигрывают в кубах и прямых призмах, где оси очевидны; чистая геометрия быстрее там, где виден нужный треугольник. Готовьте оба, применяйте по ситуации.
Как распределяются 3 балла?
Обычно 1 балл за доказательство пункта а) и 2 за верное вычисление в пункте б) с обоснованием. Пункт б) оценивается даже при нерешённом а) — если использовали утверждение а) как данное, явно сославшись на него.
Как тренировать задание 14?
По конфигурациям: неделя на кубы и призмы, неделя на пирамиды, отдельно — расстояния и углы между плоскостями. Каждую задачу оформляйте полностью, как на экзамене: краткость тренируется только письмом.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык:
бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
