Логотип Репа AI Репа AIподготовка к ЕГЭ
Войти Попробовать бесплатноПопробовать
← Все задания: Математика (профильный уровень)
Задание16

Неравенство

ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 16 из 20

ЕГЭ-2027 · проект ФИПИ · сверено 19.09.2026
Новая нумерация: 20 заданий вместо 19.

Ответ: Развёрнутое решение с обоснованием

Что проверяет задание

Умение решать логарифмические, показательные и дробно-рациональные неравенства: ОДЗ, замена переменной, метод интервалов, учёт монотонности.

Задание 16 — неравенство на 2 балла: логарифмическое, показательное или комбинированное. Схема всегда одна: найти ОДЗ, заменой или преобразованием свести к рациональному неравенству, решить его методом интервалов и пересечь с ОДЗ. Главные источники ошибок — основание меньше единицы (знак переворачивается) и потерянная ОДЗ.

Как решать

  1. Выпишите ОДЗ до любых преобразований: аргументы логарифмов положительны, знаменатели не равны нулю, основания корректны.
  2. Показательное: приведите к одному основанию или сделайте замену t = aˣ (t > 0) — получится квадратное неравенство.
  3. Логарифмическое: сведите к сравнению логарифмов с одним основанием; при основании больше 1 знак сохраняется, при основании от 0 до 1 — переворачивается.
  4. Рациональное неравенство решайте методом интервалов: нули числителя и знаменателя на прямой, знаки по интервалам, внимание к строгости.
  5. Пересеките решение с ОДЗ и запишите ответ промежутками.

Попробуйте на примере

Авторские примеры: упражнения тренируют отдельный приём, остальные показывают формат задания.

Упражнение 1 · Логарифмическое неравенство с основанием меньше 1

Решите неравенство log_{1/3}(x + 2) ≥ −2.
Показать решение и ответ
  1. ОДЗ: x + 2 > 0, то есть x > −2.
  2. −2 = log_{1/3} 9. Основание 1/3 < 1 — при переходе к аргументам знак переворачивается: x + 2 ≤ 9.
  3. x ≤ 7; пересекаем с ОДЗ: −2 < x ≤ 7.
Ответ(−2; 7]

Упражнение 2 · Показательное неравенство с заменой

Решите неравенство 4ˣ − 3·2ˣ + 2 ≤ 0.
Показать решение и ответ
  1. Замена t = 2ˣ (t > 0): t² − 3t + 2 ≤ 0.
  2. Корни 1 и 2: 1 ≤ t ≤ 2 (условие t > 0 выполнено).
  3. Возвращаемся: 1 ≤ 2ˣ ≤ 2, то есть 2⁰ ≤ 2ˣ ≤ 2¹ — основание больше 1, знаки сохраняются: 0 ≤ x ≤ 1.
Ответ[0; 1]

Упражнение 3 · Метод интервалов

Решите неравенство (x − 5)(x + 1) ÷ (x + 2) ≥ 0.
Показать решение и ответ
  1. Нули числителя: 5 и −1 (входят в ответ), нуль знаменателя: −2 (выколот всегда).
  2. Расставляем знаки по интервалам справа налево: (5; +∞) плюс, (−1; 5) минус, (−2; −1) плюс, (−∞; −2) минус.
  3. Ответ: (−2; −1] ∪ [5; +∞).
Ответ(−2; −1] ∪ [5; +∞)

Где легко ошибиться

Основание меньше единицы

log_{1/3} — убывающая функция: переход от логарифмов к аргументам переворачивает знак неравенства. Забыть про это — получить «зеркальный» ответ и ноль баллов.

ОДЗ найдена, но не пересечена с ответом

Классика: ОДЗ честно выписана в начале, а в финале забыта. Последняя строка решения — всегда пересечение: изобразите оба множества на одной прямой.

Замена t = aˣ без условия t > 0

Показательная функция положительна, поэтому корни квадратного неравенства с t ≤ 0 отбрасываются. Пропустите это — появятся посторонние промежутки.

Частые вопросы

Как оценивается задание 16?

Максимум 2 балла за обоснованный верный ответ. Частичный балл зависит от ошибки и критериев конкретной задачи: любая потерянная граница не гарантирует 1 балл.

Достаточно ли школьных методов для задания 16?

Да: ОДЗ, замена переменной, свойства монотонности логарифма и показательной функции, метод интервалов. Этот набор из учебника закрывает все варианты задания.

Закрепите знания на практике

В Репе — короткие уроки, проверка ответа и помощь Помогашки.

Попробовать бесплатно

Смежные задания

07Простейшие уравнения 19Задача с параметром
Об источниках и редакции

Нумерация, форматы ответов и баллы сверены с опубликованными проектами ФИПИ на 2027 год. Примеры авторские: часть показывает формат задания, часть тренирует отдельный приём. Указанное время — учебный ориентир, а не норматив ФИПИ. После утверждения документов нужна повторная сверка.

Источники: ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы · ФИПИ: планируемые изменения ЕГЭ-2027 · Комплект проекта по предмету (архив)

Сверка содержания: . Статус документов — проект.

Обновлено