Задание 16 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Экономическая задача
Задание 16 — «экономическая» задача на 2 балла: кредиты, вклады, реже оптимизация производства. Пугает объёмом текста, но математика внутри школьная: проценты, умножение на коэффициент 1 + r/100 и прогрессии. Ключ к успеху — таблица «год: долг до платежа → долг после платежа», составленная без спешки.
Баллы: 2Время: ~20 минЗадание 16 из 19
Что проверяет задание 16
Умение строить модель финансовой ситуации: кредиты с равномерным уменьшением долга и с равными платежами, вклады с капитализацией, задачи на оптимальный выбор.
Введите обозначения: S — долг, r — ставка, X — платёж. Начисление процентов — умножение долга на k = 1 + r/100.
Составьте таблицу по периодам: долг после начисления процентов, затем после платежа. Не пропускайте периоды.
Дифференцированная схема: проценты начисляются на убывающий остаток — переплата считается как сумма арифметической прогрессии.
Аннуитет: последовательно выражайте остаток долга через S и X; в конце срока остаток равен нулю — это и есть уравнение.
На чём срезаются: типовые ловушки
Порядок «проценты → платёж» нарушен
Стандартная схема: сначала банк начисляет проценты на остаток, потом вносится платёж. Поменять порядок — получить другое уравнение и другой ответ. Порядок всегда описан в условии — читайте его дословно.
Процент начислен на исходный долг вместо остатка
Во всех кредитных схемах проценты идут на текущий остаток, а не на первоначальную сумму. Ошибка превращает задачу в «простые проценты» и уводит от ответа далеко.
Ответ не на тот вопрос
Спрашивают то переплату (сумма платежей минус долг), то последний платёж, то срок. После решения уравнения вернитесь к вопросу: в длинной задаче это забывается чаще всего.
Примеры с решением
Пример 1. Вклад с капитализацией
Вкладчик положил 800 000 рублей под 10% годовых (проценты ежегодно прибавляются к вкладу). Через сколько полных лет сумма на вкладе впервые превысит 1 000 000 рублей?
Каждый год сумма умножается на 1,1.
Через 1 год: 880 000; через 2 года: 968 000; через 3 года: 1 064 800.
Впервые больше миллиона — через 3 года.
Ответ: 3
Пример 2. Дифференцированные платежи
Кредит 600 000 рублей взят на 12 месяцев: каждый месяц долг уменьшается на одну и ту же величину, и на остаток начисляется 1% в месяц. Найдите общую сумму выплаченных процентов.
Долг уменьшается на 600 000 ÷ 12 = 50 000 в месяц.
Проценты платятся с остатков: 600, 550, 500, …, 50 тысяч — арифметическая прогрессия.
Кредит 72 000 рублей выдан на 2 года под 25% годовых. Каждый год после начисления процентов клиент вносит платёж X, и после второго платежа долг гасится полностью. Найдите X.
После первого года: долг 72 000 · 1,25 − X = 90 000 − X.
После второго: (90 000 − X) · 1,25 − X = 0.
112 500 − 1,25X − X = 0, откуда 2,25X = 112 500, X = 50 000.
Как отличить дифференцированную схему от аннуитета?
По формулировке: «долг уменьшается равномерно / на одну и ту же величину» — дифференцированная; «платёж один и тот же / равными платежами» — аннуитет. От схемы зависит вся модель, поэтому определяйте её до вычислений.
Нужны ли формулы сложных процентов наизусть?
Достаточно одного принципа: начисление r% — умножение на (1 + r/100). Все «формулы кредитов» выводятся из таблицы по годам за минуту, и такой вывод в решении ценится экспертами выше готовой формулы.
Как тренировать задание 16?
Сначала вклады (одно действие в год), затем дифференцированные кредиты, затем аннуитеты, в конце — задачи на оптимизацию. Всегда с таблицей: она защищает от потери периода.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык:
бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
