Репа AI
подготовка к ЕГЭ Попробовать бесплатно

Задание 12 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Наибольшее и наименьшее значение функции

Задание 12 — стандартное исследование функции: найти точку максимума/минимума или наибольшее/наименьшее значение на отрезке. Алгоритм из учебника 11 класса работает без изменений: производная, критические точки, сравнение значений. Ошибки здесь почти всегда не в идее, а в технике дифференцирования и арифметике.

Баллы: 1 Время: ~8 мин Задание 12 из 19

Что проверяет задание 12

Умение исследовать функцию с помощью производной: находить точки экстремума и наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке.

Как решать: алгоритм

  1. Найдите производную функции по таблице и правилам дифференцирования.
  2. Решите уравнение f′(x) = 0 — найдите критические точки.
  3. Отберите критические точки, попавшие в заданный отрезок.
  4. Вычислите значение функции в отобранных точках и на концах отрезка; наибольшее/наименьшее из них — ответ.
  5. Если спрошена точка экстремума (а не значение) — определите знак производной слева и справа: с плюса на минус — максимум, с минуса на плюс — минимум.

На чём срезаются: типовые ловушки

Точка экстремума перепутана со значением функции

«Найдите точку минимума» — в ответ идёт x. «Найдите наименьшее значение» — в ответ идёт y = f(x). Половина потерянных баллов в задании 12 — правильное решение с ответом «не из той колонки».

Концы отрезка не проверены

Наибольшее значение на отрезке может достигаться не в экстремуме, а на конце отрезка. Всегда вычисляйте функцию и в критических точках, и в обоих концах.

Критическая точка вне отрезка

Если корень производной не попадает в заданный отрезок — он не участвует в сравнении. Подставлять его «на всякий случай» — значит получить красивый неверный ответ.

Примеры с решением

Пример 1. Наименьшее значение на отрезке

Найдите наименьшее значение функции y = x³ − 27x + 5 на отрезке [0; 4].
  1. y′ = 3x² − 27 = 0, откуда x = ±3; в отрезок [0; 4] попадает только x = 3.
  2. Считаем значения: y(0) = 5; y(3) = 27 − 81 + 5 = −49; y(4) = 64 − 108 + 5 = −39.
  3. Наименьшее значение: −49.
Ответ: −49

Пример 2. Наибольшее значение на отрезке

Найдите наибольшее значение функции y = 12x − x³ на отрезке [−2; 3].
  1. y′ = 12 − 3x² = 0, откуда x = ±2; обе точки в отрезке.
  2. y(−2) = −24 + 8 = −16; y(2) = 24 − 8 = 16; y(3) = 36 − 27 = 9.
  3. Наибольшее значение: 16.
Ответ: 16

Пример 3. Без производной: квадратичная функция

Найдите наименьшее значение функции y = (x − 5)² + 3.
  1. Квадрат неотрицателен: (x − 5)² ≥ 0, минимум достигается при x = 5.
  2. Наименьшее значение: 0 + 3 = 3.
  3. Производная не понадобилась — структура «квадрат плюс число» видна сразу.
Ответ: 3

Частые вопросы

Какие производные нужно знать наизусть?

Таблицу: xⁿ, √x, 1/x, eˣ, ln x, sin x, cos x — и правила: производная суммы, вынос множителя, произведение, частное, сложная функция. Для большинства задач хватает степенных функций.

Можно ли решать без производной?

Иногда да: у квадратичной функции минимум в вершине, у выражений вида «квадрат + константа» минимум виден сразу. Но универсальный путь — производная: он работает всегда и одинаково.

Как тренировать задание 12?

Сериями по видам функций: многочлены, дробные, с корнем, с логарифмом и экспонентой, тригонометрические. И каждый раз — финальная проверка: спрошена точка или значение.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI

Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык: бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.

Попробовать бесплатно
3 дня бесплатно · без привязки карты

Смежные задания

Задание 8Производная и первообразная Разбор, ловушки и примеры Задание 11Графики функций Разбор, ловушки и примеры