Пример 1. Прямая по двум точкам
Прямая y = kx + b проходит через точки (1; 3) и (3; 7). Найдите значение функции при x = 10.
- Из двух точек: k = (7 − 3) ÷ (3 − 1) = 2.
- 3 = 2·1 + b, откуда b = 1: y = 2x + 1.
- y(10) = 21.
Ответ: 21
Задание 11 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Графики функций
В задании 11 дан график функции с отмеченными точками и формула с неизвестными коэффициентами — нужно восстановить коэффициент и посчитать значение функции в точке. Метод один и универсален: снять с графика координаты «удобных» точек и подставить их в формулу. Две точки — два уравнения — любые два коэффициента.
Баллы: 1
Время: ~5 мин
Задание 11 из 19
Что проверяет задание 11
Умение сопоставлять график и формулу: находить коэффициенты линейной, квадратичной, дробно-линейной, показательной и логарифмической функций по изображённому графику.
Как решать: алгоритм
- Опознайте тип функции по графику: прямая, парабола, гипербола, экспонента, логарифм, корень.
- Найдите на графике точки с целыми координатами — как правило, они специально отмечены.
- Подставьте координаты точек в формулу: каждая точка даёт одно уравнение относительно коэффициентов.
- Используйте особые точки: пересечение с осью y даёт свободный член, вершина параболы — координаты (−b/2a; y₀).
- Найдя коэффициенты, посчитайте то, что спрошено: обычно f(x₀) в конкретной точке.
На чём срезаются: типовые ловушки
Знак коэффициента наклона
Прямая, идущая «вниз слева направо», имеет отрицательный k. Парабола ветвями вниз — отрицательный a. Сверяйте знак найденного коэффициента с картинкой до подстановки дальше.
Точка снята с графика неточно
Берите только точки, попадающие точно в узлы сетки: «примерно 2,5» — источник ошибки. Если целых точек мало, используйте пересечения с осями.
Спрошено значение не той функции
Часто просят f(x₀) в точке за пределами рисунка — считать надо по восстановленной формуле, а не «продолжать график на глаз». Формула первична, картинка — только источник коэффициентов.
Примеры с решением
Пример 2. Парабола по вершине и точке
График функции f(x) = ax² + bx + c — парабола с вершиной в точке (2; −1), проходящая через точку (0; 3). Найдите a.
- Запишем через вершину: f(x) = a(x − 2)² − 1.
- Подставляем (0; 3): 3 = a·4 − 1, откуда 4a = 4, a = 1.
Ответ: 1
Пример 3. Гипербола
График функции f(x) = k/x проходит через точку (2; −6). Найдите f(−3).
- k = x·y = 2·(−6) = −12, то есть f(x) = −12/x.
- f(−3) = −12 ÷ (−3) = 4.
Ответ: 4
Частые вопросы
Какие функции бывают в задании 11?
Прямая kx + b, парабола ax² + bx + c, гипербола k/x + a, показательная aˣ + b, логарифмическая log_a x + b и корень. Метод для всех один — подстановка точек графика в формулу.
Что делать, если неизвестных коэффициентов два?
Снять с графика две точки и решить систему из двух уравнений. Начинайте с точки на оси y — она сразу даёт свободный член без системы.
Как тренировать задание 11?
Прорешайте по нескольку задач на каждый тип функции, приучаясь первым делом искать «целые» точки и пересечения с осями. Задание становится механическим быстрее любого другого.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык: бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
Попробовать бесплатно3 дня бесплатно · без привязки карты