Задание 8 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Производная и первообразная
Задание 8 — производная «по смыслу», без громоздкого дифференцирования. Три кита: производная — это угловой коэффициент касательной; знак производной показывает рост и убывание функции; производная координаты — скорость. Главная трудность — не перепутать, что нарисовано: график функции или график её производной.
Баллы: 1Время: ~6 минЗадание 8 из 19
Что проверяет задание 8
Понимание геометрического и физического смысла производной: чтение графика функции и графика производной, касательная, скорость процесса, первообразная как площадь.
Как решать: алгоритм
Первым делом прочитайте, что на рисунке: f(x) или f′(x). Это меняет всю логику.
Если дан график f′(x): нули производной — точки экстремума функции; производная выше нуля — функция растёт.
Если дан график f(x): производная положительна там, где график идёт вверх; в точках экстремума производная равна нулю.
Физический смысл: скорость — производная координаты по времени; подставьте момент времени в v(t) = x′(t).
На чём срезаются: типовые ловушки
График производной прочитан как график функции
Самая массовая ошибка задания. Если на рисунке f′(x), то максимум функции — не «горб» на картинке, а точка, где f′ меняет знак с плюса на минус. Подпишите на черновике над осью: «здесь f растёт», «здесь убывает».
Угловой коэффициент со знаком минус
Касательная, наклонённая «вниз», имеет отрицательный коэффициент. Считая по клеткам через прямоугольный треугольник, не забудьте поставить знак по направлению наклона.
Точка касания не проверена
Прямая касается графика, когда совпадают и значения функций, и их производные. Найти x из f′(x) = k — только полшага: не забудьте условие прохождения прямой через точку касания.
Примеры с решением
Пример 1. Касательная и параметр
Прямая y = 3x + 1 касается графика функции f(x) = x² + 5x + c. Найдите c.
В точке касания производная равна угловому коэффициенту: f′(x) = 2x + 5 = 3, откуда x = −1.
Значения функций в точке касания совпадают: f(−1) = 1 − 5 + c = c − 4, а y(−1) = −3 + 1 = −2.
c − 4 = −2, значит c = 2.
Ответ: 2
Пример 2. Физический смысл производной
Материальная точка движется по закону x(t) = t² − 3t + 5, где x — координата в метрах, t — время в секундах. Найдите её скорость (в м/с) в момент t = 4 с.
Известно, что f′(x) > 0 на промежутке (−2; 3) и f′(x) < 0 при x > 3. Найдите точку максимума функции f(x).
До x = 3 функция возрастает (производная положительна), после — убывает.
Смена роста на убывание — точка максимума: x = 3.
Ответ: 3
Частые вопросы
Нужно ли уметь дифференцировать сложные функции?
Для задания 8 — нет: здесь проверяется смысл производной, а не техника. Таблица производных и правила понадобятся в задании 12, где ищут наибольшее/наименьшее значение.
Что спрашивают про первообразную?
Обычно даётся график производной F′(x) = f(x), и нужно сравнить значения F или найти площадь под графиком. Ключ: первообразная растёт там, где f положительна.
Как тренировать задание 8?
Половина тренировки — задачи «дан график производной», половина — «дан график функции», вперемешку. Цель — начать читать заголовок рисунка раньше, чем сам рисунок.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык:
бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
