Формат задания 1 · Разность логарифмов
Найдите значение выражения log₅ 60 − log₅ 12.
Показать решение и ответ
- Разность логарифмов — логарифм частного: log₅(60 ÷ 12) = log₅ 5.
- log₅ 5 = 1.
Ответ1
← Все задания: Математика (профильный уровень)
Задание08
Вычисления и преобразования
ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 8 из 20
ЕГЭ-2027 · проект ФИПИ · сверено 19.09.2026
Новая нумерация: 20 заданий вместо 19.
- 1 первичный балл
- ≈ 5 мин на практику
- 3 примера
Ответ: Краткий числовой ответ
Что проверяет задание
Умение применять свойства степеней, корней и логарифмов и основные тригонометрические формулы для вычисления значений выражений.
Задание 8 — «свернуть выражение»: произведение корней, разность логарифмов, тригонометрическая формула. Считать в лоб здесь нельзя и не нужно — каждое выражение сворачивается одним-двумя школьными свойствами до маленького числа. Кто знает свойства — решает за минуту.
Как решать
- Посмотрите на выражение целиком и найдите структуру: одинаковые основания, произведение под корнем, сумма/разность логарифмов.
- Степени: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Для дробных показателей обычно используют положительное основание; при делении знаменатель не равен нулю.
- Логарифмы: log_a b + log_a c = log_a(bc), log_a b − log_a c = log_a(b/c), log_a aᵏ = k. Здесь a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0.
- Тригонометрия: sin²x + cos²x = 1, формулы приведения, периодичность (sin(x + 360°) = sin x).
- Проверьте допустимость преобразований и точность ответа. Не заменяйте доказательство тем, что число выглядит «красивым».
Попробуйте на примере
Авторские примеры: упражнения тренируют отдельный приём, остальные показывают формат задания.
Формат задания 2 · Степени с дробными показателями
Найдите значение выражения (9^(1/3) · 9^(1/6))².
Показать решение и ответ
- При умножении показатели складываются: 1/3 + 1/6 = 1/2, получаем 9^(1/2).
- Возводим в квадрат: (9^(1/2))² = 9¹ = 9.
Ответ9
Формат задания 3 · Периодичность синуса
Найдите значение выражения 14·sin 409° ÷ sin 49°.
Показать решение и ответ
- 409° = 360° + 49°, а период синуса 360°: sin 409° = sin 49°.
- Выражение равно 14 · sin 49° ÷ sin 49° = 14.
Ответ14
Где легко ошибиться
Логарифмы перемножены вместо сложения показателей
Разность логарифмов одного основания равна логарифму частного: log₅60 − log₅12 = log₅5 = 1. Частное логарифмов подчиняется другому правилу: log_a b / log_a c = log_c b при допустимых a, b, c и c ≠ 1.
Формула приведения с потерянным знаком
sin(180° − x) = sin x, но cos(180° − x) = −cos x. Проверяйте знак по четверти: во второй четверти косинус отрицателен. Правило «функция меняется при 90° и 270°, знак — по четверти» покрывает все случаи.
Корень из суммы «распался»
√(a + b) ≠ √a + √b — свойство работает только для произведения и частного. Аналогично (a + b)² ≠ a² + b²: не теряйте удвоенное произведение.
Частые вопросы
Какие тригонометрические формулы реально нужны?
Основное тождество sin²x + cos²x = 1, формулы приведения, синус и косинус двойного угла, периодичность и чётность (cos(−x) = cos x, sin(−x) = −sin x). Таблица значений для 30°, 45°, 60° — наизусть.
Как быстро проверить знак в формуле приведения?
Подставьте конкретный маленький угол: для проверки cos(180° − x) возьмите x = 60°, тогда cos 120° = −0,5 = −cos 60°. Тридцать секунд — и знак гарантированно верный.
Закрепите знания на практике
В Репе — короткие уроки, проверка ответа и помощь Помогашки.
Попробовать бесплатноСмежные задания
Об источниках и редакции
Нумерация, форматы ответов и баллы сверены с опубликованными проектами ФИПИ на 2027 год. Примеры авторские: часть показывает формат задания, часть тренирует отдельный приём. Указанное время — учебный ориентир, а не норматив ФИПИ. После утверждения документов нужна повторная сверка.
Источники: ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы · ФИПИ: планируемые изменения ЕГЭ-2027 · Комплект проекта по предмету (архив)
Сверка содержания: . Статус документов — проект.
Обновлено