Логотип Репа AI Репа AIподготовка к ЕГЭ
Войти Попробовать бесплатноПопробовать
← Все задания: Математика (профильный уровень)
Задание05

Вероятности сложных событий

ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 5 из 20

ЕГЭ-2027 · проект ФИПИ · сверено 19.09.2026
Новая нумерация: 20 заданий вместо 19.

Ответ: Краткий числовой ответ

Что проверяет задание

Умение применять правила сложения и умножения вероятностей: независимые и несовместные события, противоположное событие, серии одинаковых испытаний.

Задание 5 — вероятности составных событий. Здесь уже не пересчёт исходов, а два школьных правила: вероятности независимых событий перемножаются, вероятности несовместных — складываются. Плюс приём «через противоположное»: вероятность «хотя бы одного» удобнее считать как 1 минус вероятность «ни одного».

Как решать

  1. Разбейте событие из вопроса на простые: что должно произойти И что — ИЛИ что.
  2. «И» для независимых событий — умножение вероятностей; «ИЛИ» для несовместных — сложение.
  3. Для «хотя бы один» считайте противоположное событие («ни одного») и вычитайте из единицы.
  4. Для серии одинаковых испытаний перемножайте вероятности каждого шага: попадание 0,8, промах 0,2 — серия «попал, попал, промахнулся» имеет вероятность 0,8·0,8·0,2.
  5. Проверьте результат: 0 ≤ P ≤ 1. Вероятность пересечения не больше вероятности каждого из событий.

Попробуйте на примере

Авторские примеры: упражнения тренируют отдельный приём, остальные показывают формат задания.

Формат задания 1 · Хотя бы одно попадание

Стрелок делает два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что он попадёт хотя бы один раз. Считайте выстрелы независимыми.
Показать решение и ответ
  1. Противоположное событие — оба промаха: 0,4 · 0,4 = 0,16.
  2. P(хотя бы одно попадание) = 1 − 0,16 = 0,84.
Ответ0,84

Формат задания 2 · Серия испытаний

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Стрелок сделал 5 выстрелов. Найдите вероятность того, что первые три раза он попал, а последние два — промахнулся. Результат округлите до сотых. Считайте выстрелы независимыми.
Показать решение и ответ
  1. Выстрелы независимы, вероятности перемножаются.
  2. P = 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,2 · 0,2 = 0,512 · 0,04 = 0,02048.
  3. Округляем до сотых: 0,02.
Ответ0,02

Формат задания 3 · Испытания до первого успеха

Биатлонист стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8, выстрелы независимы. Найдите вероятность того, что ему потребуется ровно три выстрела.
Показать решение и ответ
  1. «Ровно три выстрела» — первые два промах (по 0,2), третий — попадание (0,8).
  2. P = 0,2 · 0,2 · 0,8 = 0,032.
Ответ0,032

Где легко ошибиться

Сложили там, где надо умножать

«Кофе закончится в первом автомате И во втором» — умножение. «Достанется вопрос по тригонометрии ИЛИ по логарифмам» (одновременно нельзя) — сложение. Союз в формулировке — главный ориентир.

«Хотя бы один» посчитан в лоб

Перебирать все случаи «ровно один, ровно два…» долго и рискованно. Быстрее противоположное: P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного). Для двух независимых промахов по 0,4: 1 − 0,16 = 0,84.

События зависимы, а посчитаны как независимые

Если предметы достают без возвращения, вероятности меняются после каждого шага: у второго шага знаменатель уже на единицу меньше. Перемножать одинаковые дроби можно только при независимых испытаниях.

Частые вопросы

Как отличить независимые события от несовместных?

Независимость означает, что наступление одного события не меняет вероятность другого; это должно следовать из модели или условия. Несовместные события не могут произойти вместе. Вероятность пересечения независимых событий равна произведению, объединения несовместных — сумме.

Когда использовать приём «1 минус»?

Когда в вопросе есть «хотя бы один», «не менее одного» или отрицание («кофе останется хотя бы в одном автомате»). Противоположное событие обычно одно и считается одним умножением.

Закрепите знания на практике

В Репе — короткие уроки, проверка ответа и помощь Помогашки.

Попробовать бесплатно

Смежные задания

04Начала теории вероятностей 11Текстовые задачи
Об источниках и редакции

Нумерация, форматы ответов и баллы сверены с опубликованными проектами ФИПИ на 2027 год. Примеры авторские: часть показывает формат задания, часть тренирует отдельный приём. Указанное время — учебный ориентир, а не норматив ФИПИ. После утверждения документов нужна повторная сверка.

Источники: ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы · ФИПИ: планируемые изменения ЕГЭ-2027 · Комплект проекта по предмету (архив)

Сверка содержания: . Статус документов — проект.

Обновлено