Задание 5 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Вероятности сложных событий
Задание 5 — вероятности составных событий. Здесь уже не пересчёт исходов, а два школьных правила: вероятности независимых событий перемножаются, вероятности несовместных — складываются. Плюс приём «через противоположное»: вероятность «хотя бы одного» удобнее считать как 1 минус вероятность «ни одного».
Баллы: 1Время: ~6 минЗадание 5 из 19
Что проверяет задание 5
Умение применять правила сложения и умножения вероятностей: независимые и несовместные события, противоположное событие, серии одинаковых испытаний.
Как решать: алгоритм
Разбейте событие из вопроса на простые: что должно произойти И что — ИЛИ что.
«И» для независимых событий — умножение вероятностей; «ИЛИ» для несовместных — сложение.
Для «хотя бы один» считайте противоположное событие («ни одного») и вычитайте из единицы.
Для серии одинаковых испытаний перемножайте вероятности каждого шага: попадание 0,8, промах 0,2 — серия «попал, попал, промахнулся» имеет вероятность 0,8·0,8·0,2.
Проверьте: результат в пределах [0; 1], и он должен быть меньше вероятности каждого отдельного условия при умножении.
На чём срезаются: типовые ловушки
Сложили там, где надо умножать
«Кофе закончится в первом автомате И во втором» — умножение. «Достанется вопрос по тригонометрии ИЛИ по логарифмам» (одновременно нельзя) — сложение. Союз в формулировке — главный ориентир.
«Хотя бы один» посчитан в лоб
Перебирать все случаи «ровно один, ровно два…» долго и рискованно. Быстрее противоположное: P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного). Для двух независимых промахов по 0,4: 1 − 0,16 = 0,84.
События зависимы, а посчитаны как независимые
Если предметы достают без возвращения, вероятности меняются после каждого шага: у второго шага знаменатель уже на единицу меньше. Перемножать одинаковые дроби можно только при независимых испытаниях.
Примеры с решением
Пример 1. Хотя бы одно попадание
Стрелок делает два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что он попадёт хотя бы один раз.
Противоположное событие — оба промаха: 0,4 · 0,4 = 0,16.
P(хотя бы одно попадание) = 1 − 0,16 = 0,84.
Ответ: 0,84
Пример 2. Серия испытаний
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Стрелок сделал 5 выстрелов. Найдите вероятность того, что первые три раза он попал, а последние два — промахнулся. Результат округлите до сотых.
Биатлонист стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8, выстрелы независимы. Найдите вероятность того, что ему потребуется ровно три выстрела.
«Ровно три выстрела» — первые два промах (по 0,2), третий — попадание (0,8).
P = 0,2 · 0,2 · 0,8 = 0,032.
Ответ: 0,032
Частые вопросы
Как отличить независимые события от несовместных?
Независимые — не влияют друг на друга (два разных автомата, два выстрела); их вероятности перемножаются для «И». Несовместные — не могут произойти одновременно (два разных вопроса в одном билете); их вероятности складываются для «ИЛИ».
Когда использовать приём «1 минус»?
Когда в вопросе есть «хотя бы один», «не менее одного» или отрицание («кофе останется хотя бы в одном автомате»). Противоположное событие обычно одно и считается одним умножением.
Как тренировать задание 5?
По типам: серия на «И/ИЛИ», серия на «хотя бы один», серия на последовательные испытания. Перед каждым решением письменно формулируйте событие и его структуру — это половина успеха.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык:
бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
