Репа AI
подготовка к ЕГЭ Попробовать бесплатно

Задание 1 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Планиметрия

Задание 1 открывает профильный ЕГЭ короткой планиметрической задачей: найти угол, сторону или площадь в треугольнике, четырёхугольнике или окружности. Весь арсенал — школьные теоремы 7–9 класса, применённые один-два раза. Задача рассчитана на 3–5 минут, и терять этот балл обидно: он самый доступный в варианте.

Баллы: 1 Время: ~5 мин Задание 1 из 19

Что проверяет задание 1

Знание базовых фактов планиметрии: сумма углов треугольника, свойства равнобедренного треугольника, теорема Пифагора, тригонометрия прямоугольного треугольника, площади фигур, вписанные и центральные углы.

Как решать: алгоритм

  1. Сделайте чертёж и подпишите все данные: углы, стороны, равные отрезки.
  2. Опознайте конфигурацию: равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник, параллельные прямые, окружность.
  3. Примените «якорную» теорему конфигурации: сумма углов 180°, Пифагор, синус/косинус острого угла, вписанный угол — половина центрального.
  4. Двигайтесь по одному шагу, записывая каждый найденный элемент на чертёж.
  5. Проверьте ответ на правдоподобие: угол треугольника меньше 180°, катет короче гипотенузы.

На чём срезаются: типовые ловушки

Внешний угол перепутан с внутренним

Внешний угол — это 180° минус внутренний, и он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Прочитайте, какой именно угол спрашивают: «угол при вершине» и «внешний угол при вершине» — разные ответы.

Синус и косинус поменяны местами

Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего. В спешке их путают, и ответ получается «зеркальным». Подпишите на чертеже, какой катет напротив данного угла.

Вписанный угол приравнен к центральному

Вписанный угол равен ПОЛОВИНЕ центрального, опирающегося на ту же дугу. А угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой — этот факт часто и есть вся задача.

Примеры с решением

Пример 1. Равнобедренный треугольник и внешний угол

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, угол C равен 52°. Найдите внешний угол при вершине B. Ответ дайте в градусах.
  1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠A = ∠B = (180° − 52°) ÷ 2 = 64°.
  2. Внешний угол смежен с внутренним: 180° − 64° = 116°.
Ответ: 116

Пример 2. Площадь трапеции

Основания трапеции равны 14 и 6, высота — 7. Найдите площадь трапеции.
  1. S = ½ · (a + b) · h.
  2. S = ½ · (14 + 6) · 7 = 10 · 7 = 70.
Ответ: 70

Пример 3. Вписанный и центральный углы

Вписанный угол на 32° меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
  1. Пусть вписанный угол равен x, тогда центральный равен 2x.
  2. По условию 2x − x = 32°, откуда x = 32°.
Ответ: 32

Частые вопросы

Какие темы чаще всего встречаются в задании 1?

Углы в треугольниках (сумма 180°, равнобедренный, внешний угол), тригонометрия прямоугольного треугольника, площади, параллелограмм и трапеция, вписанные/центральные углы и касательные к окружности.

Нужно ли учить много формул площади?

Базовый набор: треугольник S = ½ah и S = ½ab·sin C, параллелограмм S = ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб через диагонали S = ½d₁d₂. Этого хватает почти на все варианты.

Как тренировать задание 1?

Прорешать по серии на каждую конфигурацию: равнобедренный треугольник, прямоугольный с тригонометрией, трапеция, окружность. Обязательно с чертежом от руки — большинство ошибок происходит при решении «в уме».

Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI

Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык: бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.

Попробовать бесплатно
3 дня бесплатно · без привязки карты

Смежные задания

Задание 2Векторы Разбор, ловушки и примеры Задание 17Планиметрическая задача Разбор, ловушки и примеры