Логотип Репа AI Репа AIподготовка к ЕГЭ
Войти Попробовать бесплатноПопробовать
← Все задания: Математика (профильный уровень)
Задание15

Стереометрическая задача

ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 15 из 20

ЕГЭ-2027 · проект ФИПИ · сверено 19.09.2026
Новая нумерация: 20 заданий вместо 19.

Ответ: Развёрнутое решение с обоснованием

Что проверяет задание

Умение доказывать утверждения о взаимном расположении прямых и плоскостей и вычислять углы и расстояния в пространстве — геометрически или методом координат. Вычисление объёмов и отношений объёмов также входит в содержание.

Стереометрическая задача с доказательством и вычислением. Могут потребоваться углы, расстояния, площади сечений или объёмы. Геометрический метод и координаты равноправны, если все шаги обоснованы.

Как решать

  1. Постройте большой аккуратный чертёж; отметьте равные отрезки и прямые углы.
  2. Для доказательства используйте признаки: прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна двум пересекающимся прямым в ней; теорема о трёх перпендикулярах.
  3. Угол между прямыми переносите параллельным переносом в один треугольник и считайте по теореме косинусов.
  4. Если конфигурация «прямоугольная» (куб, прямая призма) — вводите координаты: угол и расстояние считаются по формулам через векторы.
  5. Пишите обоснование каждого шага: «по теореме о трёх перпендикулярах», «как диагонали равных квадратов» — эксперт оценивает логику, а не только ответ.

Попробуйте на примере

Авторские примеры: упражнения тренируют отдельный приём, остальные показывают формат задания.

Упражнение 1 · Угол между скрещивающимися прямыми в кубе

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁.
Показать решение и ответ
  1. BC₁ параллельна AD₁ (соединяют соответственные вершины равных граней), значит искомый угол равен углу между AB₁ и AD₁.
  2. Треугольник AB₁D₁ состоит из диагоналей равных квадратов-граней: AB₁ = AD₁ = B₁D₁ = a√2 — он равносторонний.
  3. Угол D₁AB₁ = 60°.
Ответ60°

Упражнение 2 · Расстояние от вершины куба до плоскости

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDA₁.
Показать решение и ответ
  1. Рассмотрим пирамиду A·BDA₁ с вершиной A: рёбра AB, AD, AA₁ попарно перпендикулярны и равны 1.
  2. Её объём: V = ⅙ (треть произведения площади прямоугольного основания ½·1·1 на высоту 1).
  3. Основание BDA₁ — равносторонний треугольник со стороной √2, его площадь S = √3/2.
  4. Из V = ⅓·S·d: ⅙ = ⅓ · (√3/2) · d, откуда d = 1/√3 = √3/3.
Ответ√3/3

Упражнение 3 · Объём правильной пирамиды через Пифагора

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 6, боковое ребро равно √34. Найдите объём пирамиды.
Показать решение и ответ
  1. Диагональ основания: 6√2, половина диагонали: 3√2.
  2. Высота из Пифагора: h² = 34 − (3√2)² = 34 − 18 = 16, h = 4.
  3. V = ⅓ · 36 · 4 = 48.
Ответ48

Где легко ошибиться

Пункт а) «доказан» ссылкой на очевидность

«Видно из рисунка» — не доказательство, балл не дадут. Каждое утверждение должно опираться на определение или теорему: назовите две пересекающиеся прямые, которым перпендикулярна ваша прямая.

Угол между прямыми больше 90°

Угол между прямыми по определению не превышает 90°. Если теорема косинусов дала тупой угол — ответ равен смежному с ним острому: возьмите модуль косинуса.

Расстояние подменено длиной наклонной

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, а не любого отрезка до плоскости. Обоснуйте, что построенный отрезок именно перпендикулярен: без этого вычисление не засчитают.

Частые вопросы

Геометрический метод или метод координат — что выбрать?

Оба — школьные и равноправные для эксперта. Координаты выигрывают в кубах и прямых призмах, где оси очевидны; чистая геометрия быстрее там, где виден нужный треугольник. Готовьте оба, применяйте по ситуации.

Как распределяются 3 балла?

Максимум 3 балла за доказательство и обоснованное вычисление. Верное самостоятельное решение пункта б) может дать 2 балла. Если в нём используется недоказанный результат пункта а), в демоверсии предусмотрен 1 балл. Точные случаи смотрите в критериях задачи.

Закрепите знания на практике

В Репе — короткие уроки, проверка ответа и помощь Помогашки.

Попробовать бесплатно

Смежные задания

03Стереометрия 18Планиметрическая задача
Об источниках и редакции

Нумерация, форматы ответов и баллы сверены с опубликованными проектами ФИПИ на 2027 год. Примеры авторские: часть показывает формат задания, часть тренирует отдельный приём. Указанное время — учебный ориентир, а не норматив ФИПИ. После утверждения документов нужна повторная сверка.

Источники: ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы · ФИПИ: планируемые изменения ЕГЭ-2027 · Комплект проекта по предмету (архив)

Сверка содержания: . Статус документов — проект.

Обновлено