Задание 15 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Неравенство
Задание 15 — неравенство на 2 балла: логарифмическое, показательное или комбинированное. Схема всегда одна: найти ОДЗ, заменой или преобразованием свести к рациональному неравенству, решить его методом интервалов и пересечь с ОДЗ. Главные источники ошибок — основание меньше единицы (знак переворачивается) и потерянная ОДЗ.
Баллы: 2Время: ~15 минЗадание 15 из 19
Что проверяет задание 15
Умение решать логарифмические, показательные и дробно-рациональные неравенства: ОДЗ, замена переменной, метод интервалов, учёт монотонности.
Как решать: алгоритм
Выпишите ОДЗ до любых преобразований: аргументы логарифмов положительны, знаменатели не равны нулю, основания корректны.
Показательное: приведите к одному основанию или сделайте замену t = aˣ (t > 0) — получится квадратное неравенство.
Логарифмическое: сведите к сравнению логарифмов с одним основанием; при основании больше 1 знак сохраняется, при основании от 0 до 1 — переворачивается.
Рациональное неравенство решайте методом интервалов: нули числителя и знаменателя на прямой, знаки по интервалам, внимание к строгости.
Пересеките решение с ОДЗ и запишите ответ промежутками.
На чём срезаются: типовые ловушки
Основание меньше единицы
log_{1/3} — убывающая функция: переход от логарифмов к аргументам переворачивает знак неравенства. Забыть про это — получить «зеркальный» ответ и ноль баллов.
ОДЗ найдена, но не пересечена с ответом
Классика: ОДЗ честно выписана в начале, а в финале забыта. Последняя строка решения — всегда пересечение: изобразите оба множества на одной прямой.
Замена t = aˣ без условия t > 0
Показательная функция положительна, поэтому корни квадратного неравенства с t ≤ 0 отбрасываются. Пропустите это — появятся посторонние промежутки.
Примеры с решением
Пример 1. Логарифмическое неравенство с основанием меньше 1
Решите неравенство log_{1/3}(x + 2) ≥ −2.
ОДЗ: x + 2 > 0, то есть x > −2.
−2 = log_{1/3} 9. Основание 1/3 < 1 — при переходе к аргументам знак переворачивается: x + 2 ≤ 9.
x ≤ 7; пересекаем с ОДЗ: −2 < x ≤ 7.
Ответ: (−2; 7]
Пример 2. Показательное неравенство с заменой
Решите неравенство 4ˣ − 3·2ˣ + 2 ≤ 0.
Замена t = 2ˣ (t > 0): t² − 3t + 2 ≤ 0.
Корни 1 и 2: 1 ≤ t ≤ 2 (условие t > 0 выполнено).
Возвращаемся: 1 ≤ 2ˣ ≤ 2, то есть 2⁰ ≤ 2ˣ ≤ 2¹ — основание больше 1, знаки сохраняются: 0 ≤ x ≤ 1.
Ответ: [0; 1]
Пример 3. Метод интервалов
Решите неравенство (x − 5)(x + 1) ÷ (x + 2) ≥ 0.
Нули числителя: 5 и −1 (входят в ответ), нуль знаменателя: −2 (выколот всегда).
Расставляем знаки по интервалам справа налево: (5; +∞) плюс, (−1; 5) минус, (−2; −1) плюс, (−∞; −2) минус.
Ответ: (−2; −1] ∪ [5; +∞).
Ответ: (−2; −1] ∪ [5; +∞)
Частые вопросы
Как оценивается задание 15?
2 балла за верный обоснованный ответ; 1 балл, если решение в целом верно, но допущена неточность — например, потеряна одна граничная точка. Прозрачное оформление шагов повышает шанс на частичный балл.
Достаточно ли школьных методов для задания 15?
Да: ОДЗ, замена переменной, свойства монотонности логарифма и показательной функции, метод интервалов. Этот набор из учебника закрывает все варианты задания.
Как тренировать задание 15?
Отдельно — метод интервалов до полного автоматизма, затем показательные с заменой, затем логарифмические с обоими типами оснований. Каждое решение доводите до записи ответа промежутками.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык:
бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
