Логотип Репа AI Репа AIподготовка к ЕГЭ
Войти Попробовать бесплатноПопробовать
← Все задания: Математика (профильный уровень)
Задание02

Векторы

ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 2 из 20

ЕГЭ-2027 · проект ФИПИ · сверено 19.09.2026
Новая нумерация: 20 заданий вместо 19.

Ответ: Краткий числовой ответ

Что проверяет задание

Умение работать с векторами на координатной плоскости: находить координаты, длину, сумму и разность векторов, скалярное произведение и угол между векторами.

Задание 2 — векторы на координатной плоскости. Все вопросы сводятся к трём формулам школьного курса: координаты вектора по двум точкам, длина вектора через корень из суммы квадратов и скалярное произведение. Никакой теории сверх 9 класса — только аккуратный счёт с отрицательными числами.

Как решать

  1. Если вектор задан точками A и B: координаты AB = (x_B − x_A; y_B − y_A) — из конца вычитаем начало.
  2. Длина вектора: |a| = √(x² + y²).
  3. Сумма и разность считаются покоординатно; умножение на число — умножение каждой координаты.
  4. Скалярное произведение: a·b = x₁x₂ + y₁y₂; если оно равно нулю — векторы перпендикулярны.
  5. Для угла между ненулевыми векторами: cos φ = (a·b) / (|a|·|b|). Угол с нулевым вектором не определён.

Попробуйте на примере

Авторские примеры: упражнения тренируют отдельный приём, остальные показывают формат задания.

Формат задания 1 · Длина вектора

Вектор a имеет координаты (6; 8). Найдите длину вектора a.
Показать решение и ответ
  1. |a| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100.
  2. |a| = 10.
Ответ10

Формат задания 2 · Скалярное произведение

Даны векторы a(3; −2) и b(4; 5). Найдите скалярное произведение a·b.
Показать решение и ответ
  1. a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = 3·4 + (−2)·5.
  2. a·b = 12 − 10 = 2.
Ответ2

Формат задания 3 · Вектор по двум точкам

Даны точки A(2; 3) и B(5; 7). Найдите длину вектора AB.
Показать решение и ответ
  1. Координаты вектора: AB = (5 − 2; 7 − 3) = (3; 4).
  2. |AB| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Ответ5

Где легко ошибиться

Координаты вектора: вычли не в том порядке

AB = (конец минус начало): из координат B вычитаются координаты A. Перепутать порядок — получить вектор противоположного направления; для длины это не страшно, а для скалярного произведения и суммы — ошибка.

Потерян минус при скалярном произведении

В x₁x₂ + y₁y₂ часто перемножаются отрицательные координаты. Минус на минус даёт плюс, минус на плюс — минус: выписывайте произведения по отдельности, потом складывайте.

Длина суммы вместо суммы длин

|a + b| ≠ |a| + |b| (кроме сонаправленных векторов). Если спрашивают длину суммы — сначала найдите координаты вектора a + b, потом берите корень из суммы квадратов.

Частые вопросы

Какие формулы нужны для задания 2?

Три основные: координаты вектора по точкам (конец минус начало), длина |a| = √(x² + y²), скалярное произведение a·b = x₁x₂ + y₁y₂. Плюс покоординатное сложение и признак перпендикулярности a·b = 0.

Бывают ли в задании 2 векторы без координат?

Да, встречаются задачи «на клетчатой бумаге» или с параллелограммом, но и они решаются введением координат: расставьте оси по клеткам — и задача станет вычислительной.

Закрепите знания на практике

В Репе — короткие уроки, проверка ответа и помощь Помогашки.

Попробовать бесплатно

Смежные задания

01Планиметрия 03Стереометрия
Об источниках и редакции

Нумерация, форматы ответов и баллы сверены с опубликованными проектами ФИПИ на 2027 год. Примеры авторские: часть показывает формат задания, часть тренирует отдельный приём. Указанное время — учебный ориентир, а не норматив ФИПИ. После утверждения документов нужна повторная сверка.

Источники: ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы · ФИПИ: планируемые изменения ЕГЭ-2027 · Комплект проекта по предмету (архив)

Сверка содержания: . Статус документов — проект.

Обновлено