Пример 1. Длина вектора
Вектор a имеет координаты (6; 8). Найдите длину вектора a.
- |a| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100.
- |a| = 10.
Ответ: 10
Задание 2 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Векторы
Задание 2 — векторы на координатной плоскости. Все вопросы сводятся к трём формулам школьного курса: координаты вектора по двум точкам, длина вектора через корень из суммы квадратов и скалярное произведение. Никакой теории сверх 9 класса — только аккуратный счёт с отрицательными числами.
Баллы: 1
Время: ~5 мин
Задание 2 из 19
Что проверяет задание 2
Умение работать с векторами на координатной плоскости: находить координаты, длину, сумму и разность векторов, скалярное произведение и угол между векторами.
Как решать: алгоритм
- Если вектор задан точками A и B: координаты AB = (x_B − x_A; y_B − y_A) — из конца вычитаем начало.
- Длина вектора: |a| = √(x² + y²).
- Сумма и разность считаются покоординатно; умножение на число — умножение каждой координаты.
- Скалярное произведение: a·b = x₁x₂ + y₁y₂; если оно равно нулю — векторы перпендикулярны.
- Для угла между векторами: cos φ = (a·b) / (|a|·|b|).
На чём срезаются: типовые ловушки
Координаты вектора: вычли не в том порядке
AB = (конец минус начало): из координат B вычитаются координаты A. Перепутать порядок — получить вектор противоположного направления; для длины это не страшно, а для скалярного произведения и суммы — ошибка.
Потерян минус при скалярном произведении
В x₁x₂ + y₁y₂ часто перемножаются отрицательные координаты. Минус на минус даёт плюс, минус на плюс — минус: выписывайте произведения по отдельности, потом складывайте.
Длина суммы вместо суммы длин
|a + b| ≠ |a| + |b| (кроме сонаправленных векторов). Если спрашивают длину суммы — сначала найдите координаты вектора a + b, потом берите корень из суммы квадратов.
Примеры с решением
Пример 2. Скалярное произведение
Даны векторы a(3; −2) и b(4; 5). Найдите скалярное произведение a·b.
- a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = 3·4 + (−2)·5.
- a·b = 12 − 10 = 2.
Ответ: 2
Пример 3. Вектор по двум точкам
Даны точки A(2; 3) и B(5; 7). Найдите длину вектора AB.
- Координаты вектора: AB = (5 − 2; 7 − 3) = (3; 4).
- |AB| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Ответ: 5
Частые вопросы
Какие формулы нужны для задания 2?
Три основные: координаты вектора по точкам (конец минус начало), длина |a| = √(x² + y²), скалярное произведение a·b = x₁x₂ + y₁y₂. Плюс покоординатное сложение и признак перпендикулярности a·b = 0.
Бывают ли в задании 2 векторы без координат?
Да, встречаются задачи «на клетчатой бумаге» или с параллелограммом, но и они решаются введением координат: расставьте оси по клеткам — и задача станет вычислительной.
Как тренировать задание 2?
Короткими сериями по типам: длина, скалярное произведение, угол, перпендикулярность. Особое внимание — знакам при отрицательных координатах: это единственное место, где реально теряют балл.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык: бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
Попробовать бесплатно3 дня бесплатно · без привязки карты