Логотип Репа AI Репа AIподготовка к ЕГЭ
Войти Попробовать бесплатноПопробовать
← Все задания: Математика (профильный уровень)
Задание18

Планиметрическая задача

ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 18 из 20

ЕГЭ-2027 · проект ФИПИ · сверено 19.09.2026
Новая нумерация: 20 заданий вместо 19.

Ответ: Развёрнутое решение с обоснованием

Что проверяет задание

Умение доказывать планиметрические утверждения и вычислять элементы фигур: подобие треугольников, свойства окружностей, вписанные и описанные фигуры.

Задание 18 — планиметрия на 3 балла: пункт а) — доказательство, пункт б) — вычисление в той же конфигурации. Здесь работают «сильные» школьные теоремы: подобие, свойства касательных и хорд, вписанные углы, свойства вписанных и описанных окружностей. Совет, который дороже любой теоремы: большой точный чертёж и отметка всех равных углов.

Как решать

  1. Постройте большой чертёж (треть страницы, не меньше) и отметьте данные: равные отрезки, прямые углы, касания.
  2. Ищите пары подобных треугольников: равные вписанные углы, вертикальные углы, общий угол — главные источники подобия.
  3. Вспомните свойства окружности: касательные из одной точки равны; произведения отрезков пересекающихся хорд равны; вписанный угол — половина дуги.
  4. Для вписанной окружности: центр на биссектрисах, r = S/p; для описанной — центр на серединных перпендикулярах.
  5. Пункт б) обычно использует результат пункта а) — даже если а) не доказан, ссылайтесь на него явно и решайте б).

Попробуйте на примере

Авторские примеры: упражнения тренируют отдельный приём, остальные показывают формат задания.

Упражнение 1 · Вписанная окружность прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите радиус вписанной окружности.
Показать решение и ответ
  1. Гипотенуза: √(36 + 64) = 10.
  2. Радиус через площадь и полупериметр: r = S/p, где S = ½·6·8 = 24, p = (6 + 8 + 10)/2 = 12.
  3. r = 24 ÷ 12 = 2.
Ответ2

Упражнение 2 · Пересекающиеся хорды

Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Известно, что AE = 4, BE = 9, CE = 6. Найдите DE.
Показать решение и ответ
  1. Треугольники AEC и DEB подобны (вписанные углы, опирающиеся на общие дуги, и вертикальные углы равны).
  2. Из подобия: AE·BE = CE·DE — свойство пересекающихся хорд.
  3. 4 · 9 = 6 · DE, откуда DE = 6.
Ответ6

Упражнение 3 · Трапеция с вписанной окружностью

В равнобедренную трапецию с основаниями 4 и 16 вписана окружность. Найдите её радиус.
Показать решение и ответ
  1. Окружность вписана — суммы противоположных сторон равны: боковая сторона = (4 + 16) ÷ 2 = 10.
  2. Проекция боковой стороны на основание: (16 − 4) ÷ 2 = 6; высота из Пифагора: √(100 − 36) = 8.
  3. Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции: r = 8 ÷ 2 = 4.
Ответ4

Где легко ошибиться

Чертёж «частного случая»

Если нарисовать трапецию почти прямоугольной, «увидятся» свойства, которых нет в условии, — и доказательство рассыплется. Рисуйте фигуру общего вида, а данные отмечайте только из условия.

Подобие записано не по соответственным вершинам

Из подобия ABC ~ DEF отношения читаются строго по порядку букв: AB/DE = BC/EF. Перепутанный порядок — перевёрнутая пропорция и неверный ответ при верной идее.

Две конфигурации, разобрана одна

Точка может лежать по обе стороны от прямой, окружности могут касаться внешне и внутренне. Если условие не фиксирует расположение — эксперт ждёт разбора случаев или обоснования, почему случай один.

Частые вопросы

Как распределяются 3 балла в задании 18?

Максимум 3 балла за доказательство и обоснованное вычисление. Верное самостоятельное решение пункта б) может дать 2 балла. Если в нём используется недоказанный результат пункта а), в демоверсии предусмотрен 1 балл. Точные случаи смотрите в критериях задачи.

Какие теоремы стоит повторить в первую очередь?

Подобие и его признаки, свойства касательных и хорд, вписанные углы, вписанная окружность (r = S/p, центр на биссектрисах), описанная окружность и теорема синусов, свойства биссектрисы и медианы.

Закрепите знания на практике

В Репе — короткие уроки, проверка ответа и помощь Помогашки.

Попробовать бесплатно

Смежные задания

01Планиметрия 15Стереометрическая задача
Об источниках и редакции

Нумерация, форматы ответов и баллы сверены с опубликованными проектами ФИПИ на 2027 год. Примеры авторские: часть показывает формат задания, часть тренирует отдельный приём. Указанное время — учебный ориентир, а не норматив ФИПИ. После утверждения документов нужна повторная сверка.

Источники: ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы · ФИПИ: планируемые изменения ЕГЭ-2027 · Комплект проекта по предмету (архив)

Сверка содержания: . Статус документов — проект.

Обновлено