Пример 1. Один корень квадратного уравнения
При каких значениях параметра a уравнение x² − ax + 9 = 0 имеет ровно один корень?
- Квадратное уравнение имеет один корень при нулевом дискриминанте.
- D = a² − 36 = 0.
- a = 6 или a = −6.
Ответ: a = ±6
Задание 18 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Задача с параметром
Задание 18 — задача с параметром на 4 балла, одна из двух самых дорогих в варианте. Вопрос всегда «при каких значениях a…»: уравнение имеет ровно два корня, система — единственное решение. Два школьных пути: аналитический (дискриминант, исследование случаев) и графический (нарисовать семейство графиков и посмотреть, когда картинка удовлетворяет условию). Часто графический короче в разы.
Баллы: 4
Время: ~30 мин
Задание 18 из 19
Что проверяет задание 18
Умение исследовать уравнения, неравенства и системы с параметром: находить все значения параметра, при которых выполняется заданное условие о числе или расположении решений.
Как решать: алгоритм
- Переформулируйте условие на языке графиков: «уравнение f(x) = a имеет 3 корня» означает «горизонтальная прямая y = a пересекает график f ровно трижды».
- Постройте график левой части: модули раскрываются по промежуткам, квадратные функции — по вершинам.
- Найдите «критические» значения параметра — где прямая проходит через вершины, изломы и точки касания: между ними число решений не меняется.
- В аналитическом пути разберите случаи: дискриминант, старший коэффициент при параметре, граничные значения.
- Обязательно проверьте граничные значения параметра отдельно — именно они чаще всего теряются или лишний раз включаются.
На чём срезаются: типовые ловушки
Граничные значения параметра потеряны
Ответ «a > 3» и «a ≥ 3» — разные задачи. Каждое граничное значение подставляйте в исходное уравнение и честно пересчитывайте число решений: включение границы — самая частая цена ошибки в 1–2 балла.
Деление на выражение с параметром
Делить на (a − 1) можно только при a ≠ 1, а случай a = 1 нужно разобрать отдельно. Пропущенный «вырожденный» случай (уравнение становится линейным) — классическая потеря.
Графики нарисованы неточно
В графическом методе решают точки касания и вершины — их нужно не «увидеть», а вычислить: касание — через дискриминант или производную, вершину — по формуле. Картинка иллюстрирует, вычисление доказывает.
Примеры с решением
Пример 2. Графический метод: три корня
При каких значениях a уравнение x² − 4|x| + 3 = a имеет ровно три корня?
- График y = x² − 4|x| + 3 симметричен относительно оси y: два минимума в точках x = ±2 (значение −1) и локальный максимум в x = 0 (значение 3).
- Прямая y = a пересекает такой «W-образный» график ровно трижды, только проходя через вершину локального максимума: a = 3.
- Проверка: при a = 3 уравнение x² − 4|x| = 0 даёт x = 0, x = ±4 — ровно три корня.
Ответ: a = 3
Пример 3. Условие на вершину параболы
При каких значениях a вершина параболы y = x² + ax + 3 лежит на оси абсцисс?
- Вершина на оси x означает единственный корень: D = 0.
- a² − 12 = 0, откуда a = ±2√3.
Ответ: a = ±2√3
Частые вопросы
С чего начинать, если задача кажется неприступной?
Перевести условие на графический язык и нарисовать картинку: окружность, модуль, парабола. Даже если решать будете аналитически, картинка покажет, сколько случаев и где границы.
Как оцениваются частичные продвижения?
Задание стоит 4 балла, и 1–2 балла дают за верно разобранную часть случаев или обоснованно найденную часть ответа. Записывайте продвижения аккуратно — «черновой» ход мыслей без обоснований не оценивается.
Как тренировать задание 18?
Сначала научитесь строить графики с модулями и семейства прямых/окружностей, затем решайте задачи одного типа сериями: «число корней», «единственное решение системы», «расположение корней квадратного уравнения».
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык: бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
Попробовать бесплатно3 дня бесплатно · без привязки карты