Моделирование и оптимизация

Q: Нужно ли знать физические формулы?

Используйте модель, данную в условии. Проверяется умение работать с функцией, ограничениями и экстремумом.

ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 17 из 20

ЕГЭ-2027 · проект ФИПИ · сверено 19.09.2026
Новая нумерация: 20 заданий вместо 19.

2 первичных балла
≈ 20 мин на практику
3 примера

Ответ: Развёрнутое решение с обоснованием

Что проверяет задание

Математическая модель прикладной задачи, допустимые значения, исследование функции и обоснование оптимума.

В проекте ЕГЭ-2027 это новая задача с развёрнутым решением. Нужно составить функцию по условию и доказать, при каком допустимом значении достигается лучший результат.

Как решать

Выберите переменную и укажите её смысл и допустимые значения.
Выразите искомую величину через эту переменную.
Найдите кандидатов на оптимум: производная, границы, точки недифференцируемости; иногда достаточно выделить квадрат.
Докажите глобальный максимум или минимум на допустимом множестве и ответьте в единицах задачи.

Попробуйте на примере

Авторские примеры: упражнения тренируют отдельный приём, остальные показывают формат задания.

Формат задания 1 · Максимальная мощность

Сила тока задана формулой I = 12/(R + 2), где R > 0 — сопротивление нагрузки в омах. Мощность P = I²R. Найдите наибольшую мощность в ваттах и обоснуйте ответ.

Показать решение и ответ

P(R) = 144R/(R + 2)².
P′(R) = 144(2 − R)/(R + 2)³. При 0 < R < 2 производная положительна, при R > 2 — отрицательна.
Значит, глобальный максимум при R = 2: P(2) = 288/16 = 18 Вт.

Ответ18 Вт при R = 2 Ом

Формат задания 2 · Площадь при заданном периметре

Прямоугольную площадку ограждают 40 м сетки с четырёх сторон. Найдите наибольшую площадь.

Показать решение и ответ

Пусть одна сторона x, тогда другая 20 − x, где 0 < x < 20.
S = x(20 − x) = 100 − (x − 10)² ≤ 100.
Равенство достигается при x = 10: обе стороны по 10 м.

Ответ100 м²

Формат задания 3 · Минимальный расход

Расход топлива на 100 км моделируется формулой q(v) = 0,002v² − 0,24v + 12 при 40 ≤ v ≤ 90 км/ч. При какой скорости он минимален?

Показать решение и ответ

q(v) = 0,002(v − 60)² + 4,8.
Квадрат минимален при v = 60, и эта скорость лежит в заданном диапазоне.

Ответ60 км/ч

Где легко ошибиться

Только нуль производной

Равенство f′(x) = 0 ещё не доказывает максимум. Проверьте знак, границы и допустимость.

Ответ без модели

Во второй части нужно показать связь формулы с условием и обосновать оптимальность.

Частые вопросы

Нужно ли знать физические формулы?

Используйте модель, данную в условии. Проверяется умение работать с функцией, ограничениями и экстремумом.

Закрепите знания на практике

В Репе — короткие уроки, проверка ответа и помощь Помогашки.

Попробовать бесплатно

Смежные задания

Об источниках и редакции

Нумерация, форматы ответов и баллы сверены с опубликованными проектами ФИПИ на 2027 год. Примеры авторские: часть показывает формат задания, часть тренирует отдельный приём. Указанное время — учебный ориентир, а не норматив ФИПИ. После утверждения документов нужна повторная сверка.

Источники: ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы · ФИПИ: планируемые изменения ЕГЭ-2027 · Комплект проекта по предмету (архив)

Сверка содержания: 19 сентября 2026. Статус документов — проект.

Обновлено 2026-09-28