Задание 17 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Планиметрическая задача
Задание 17 — планиметрия на 3 балла: пункт а) — доказательство, пункт б) — вычисление в той же конфигурации. Здесь работают «сильные» школьные теоремы: подобие, свойства касательных и хорд, вписанные углы, свойства вписанных и описанных окружностей. Совет, который дороже любой теоремы: большой точный чертёж и отметка всех равных углов.
Баллы: 3Время: ~25 минЗадание 17 из 19
Что проверяет задание 17
Умение доказывать планиметрические утверждения и вычислять элементы фигур: подобие треугольников, свойства окружностей, вписанные и описанные фигуры.
Как решать: алгоритм
Постройте большой чертёж (треть страницы, не меньше) и отметьте данные: равные отрезки, прямые углы, касания.
Ищите пары подобных треугольников: равные вписанные углы, вертикальные углы, общий угол — главные источники подобия.
Вспомните свойства окружности: касательные из одной точки равны; произведения отрезков пересекающихся хорд равны; вписанный угол — половина дуги.
Для вписанной окружности: центр на биссектрисах, r = S/p; для описанной — центр на серединных перпендикулярах.
Пункт б) обычно использует результат пункта а) — даже если а) не доказан, ссылайтесь на него явно и решайте б).
На чём срезаются: типовые ловушки
Чертёж «частного случая»
Если нарисовать трапецию почти прямоугольной, «увидятся» свойства, которых нет в условии, — и доказательство рассыплется. Рисуйте фигуру общего вида, а данные отмечайте только из условия.
Подобие записано не по соответственным вершинам
Из подобия ABC ~ DEF отношения читаются строго по порядку букв: AB/DE = BC/EF. Перепутанный порядок — перевёрнутая пропорция и неверный ответ при верной идее.
Две конфигурации, разобрана одна
Точка может лежать по обе стороны от прямой, окружности могут касаться внешне и внутренне. Если условие не фиксирует расположение — эксперт ждёт разбора случаев или обоснования, почему случай один.
Примеры с решением
Пример 1. Вписанная окружность прямоугольного треугольника
Радиус через площадь и полупериметр: r = S/p, где S = ½·6·8 = 24, p = (6 + 8 + 10)/2 = 12.
r = 24 ÷ 12 = 2.
Ответ: 2
Пример 2. Пересекающиеся хорды
Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Известно, что AE = 4, BE = 9, CE = 6. Найдите DE.
Треугольники AEC и DEB подобны (вписанные углы, опирающиеся на общие дуги, и вертикальные углы равны).
Из подобия: AE·BE = CE·DE — свойство пересекающихся хорд.
4 · 9 = 6 · DE, откуда DE = 6.
Ответ: 6
Пример 3. Трапеция с вписанной окружностью
В равнобедренную трапецию с основаниями 4 и 16 вписана окружность. Найдите её радиус.
Окружность вписана — суммы противоположных сторон равны: боковая сторона = (4 + 16) ÷ 2 = 10.
Проекция боковой стороны на основание: (16 − 4) ÷ 2 = 6; высота из Пифагора: √(100 − 36) = 8.
Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции: r = 8 ÷ 2 = 4.
Ответ: 4
Частые вопросы
Как распределяются 3 балла в задании 17?
1 балл за доказательство пункта а) и 2 за пункт б). Пункт б) засчитывается и без доказанного а), если вы явно используете утверждение а) и дальше решаете верно.
Какие теоремы стоит повторить в первую очередь?
Подобие и его признаки, свойства касательных и хорд, вписанные углы, вписанная окружность (r = S/p, центр на биссектрисах), описанная окружность и теорема синусов, свойства биссектрисы и медианы.
Как тренировать задание 17?
Начните с задач «только пункт б)» на подобие и окружности, затем добавляйте доказательства. Полезно письменно оформлять доказательство в 3–4 строки со ссылками на теоремы — краткость и строгость приходят с практикой.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык:
бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
