Задание 13 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Тригонометрическое уравнение
Задание 13 открывает часть с развёрнутым ответом и стоит 2 балла: пункт а) — решить уравнение, пункт б) — отобрать корни на отрезке. Уравнения сводятся к простейшим двумя приёмами: заменой переменной (t = sin x или t = cos x) и разложением на множители. Отбор корней — тригонометрическая окружность или двойное неравенство; балл за пункт б) даётся только при обоснованном отборе.
Баллы: 2Время: ~15 минЗадание 13 из 19
Что проверяет задание 13
Умение решать тригонометрические уравнения (замена переменной, разложение на множители, формулы двойного угла) и отбирать корни, принадлежащие заданному отрезку.
Как решать: алгоритм
Приведите уравнение к одной функции одного аргумента: sin²x замените через 1 − cos²x, sin 2x — через 2 sin x cos x.
Сделайте замену t = sin x (или cos x) и решите квадратное уравнение; отбросьте корни вне [−1; 1].
Либо разложите на множители и приравняйте каждый множитель к нулю — деление на выражение с неизвестной запрещено (теряются корни).
Запишите серии решений: sin x = a → x = (−1)ᵏ·arcsin a + πk; cos x = a → x = ±arccos a + 2πk.
Отберите корни на отрезке: отметьте серии на тригонометрической окружности или решите двойное неравенство для каждого k.
На чём срезаются: типовые ловушки
Деление на cos x теряет корни
В уравнении sin 2x = cos x нельзя делить на cos x: корни серии cos x = 0 исчезнут. Переносите всё в одну часть и выносите общий множитель: cos x(2 sin x − 1) = 0.
Корень замены вне [−1; 1] не отброшен
Если после замены t = sin x получилось t = 2 — эта ветка пустая: синус не бывает больше 1. Записать x = arcsin 2 — грубая ошибка, обнуляющая пункт а).
Отбор корней без обоснования
Ответ пункта б), выписанный без окружности или неравенства, эксперт не засчитает. Покажите механизм отбора: окружность с отмеченной дугой или явное неравенство −2π ≤ x ≤ −π/2 для каждой серии.
Примеры с решением
Пример 1. Замена переменной
а) Решите уравнение 2cos²x − cos x − 1 = 0. б) Найдите корни на отрезке [−2π; −π/2].
Замена t = cos x: 2t² − t − 1 = 0, корни t = 1 и t = −1/2.
cos x = 1 → x = 2πk; cos x = −1/2 → x = ±2π/3 + 2πk.
Отбор на [−2π; −π/2]: из первой серии подходит x = −2π; из второй — x = −4π/3 (это 2π/3 − 2π) и x = −2π/3.
Ответ б): −2π; −4π/3; −2π/3.
Ответ: а) 2πk; ±2π/3 + 2πk. б) −2π; −4π/3; −2π/3
Пример 2. Разложение на множители
Решите уравнение sin 2x = cos x.
sin 2x = 2 sin x cos x, переносим: 2 sin x cos x − cos x = 0.
cos x (2 sin x − 1) = 0.
cos x = 0 → x = π/2 + πk; sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk.
Ответ: π/2 + πk; π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk
Пример 3. Отбор корней двойным неравенством
Из серии x = π/6 + 2πk отберите корни, принадлежащие отрезку [2π; 4π].
Двойное неравенство: 2π ≤ π/6 + 2πk ≤ 4π.
Вычитаем π/6 и делим на 2π: 11/12 ≤ k ≤ 23/12.
Целое k = 1: x = π/6 + 2π = 13π/6.
Ответ: 13π/6
Частые вопросы
Как оценивается задание 13?
2 балла: 1 за верно решённое уравнение (пункт а) и 1 за обоснованный отбор корней (пункт б). Ошибка в отборе не отменяет балл за пункт а) — оформляйте пункты раздельно.
Каким способом лучше отбирать корни?
Оба способа равноправны: тригонометрическая окружность нагляднее и быстрее для отрезков длиной до 2π, двойное неравенство надёжнее для длинных отрезков. Выберите один и доведите до автоматизма.
Как тренировать задание 13?
Сначала серии на решение без отбора (замена, разложение), потом отдельно тренировка отбора на отрезке, затем полные задачи с оформлением обоих пунктов, как на экзамене.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык:
бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
