Пример 1. Показательное уравнение
Решите уравнение 2^(4 − 2x) = 64.
- 64 = 2⁶ — приводим к одному основанию.
- Показатели равны: 4 − 2x = 6.
- −2x = 2, x = −1.
Ответ: −1
Задание 6 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Простейшие уравнения
Задание 6 — одно уравнение в одно-два действия: показательное, логарифмическое, с корнем или квадратное. План всегда один: привести к стандартному виду, применить определение (логарифма, корня) или свойство (равенство степеней с одним основанием) и проверить корень. Если корней два — условие скажет, какой писать.
Баллы: 1
Время: ~5 мин
Задание 6 из 19
Что проверяет задание 6
Умение решать простейшие уравнения всех школьных типов: линейные, квадратные, показательные, логарифмические, иррациональные — и отбирать корень по условию.
Как решать: алгоритм
- Определите тип уравнения — от него зависит приём.
- Показательное: приведите обе части к одному основанию и приравняйте показатели.
- Логарифмическое: по определению логарифма превратите равенство в степень; проверьте, что аргумент положителен.
- Иррациональное: возведите обе части в квадрат; корень обязательно проверьте подстановкой.
- Квадратное: дискриминант или теорема Виета; если корней два — перечитайте, какой просят в ответ.
На чём срезаются: типовые ловушки
Посторонний корень после возведения в квадрат
√(2x + 5) = −3 корней не имеет вообще: корень не бывает отрицательным. А после возведения в квадрат «корень» появится. Подстановка в исходное уравнение занимает секунды и спасает балл.
ОДЗ логарифма забыта
В log₂(4 − x) = 7 аргумент обязан быть положительным. Найдя x, подставьте его: 4 − x должно быть больше нуля. В простейших уравнениях «неподходящих» корней почти не бывает, но проверка обязана стать привычкой — в части 2 без неё никак.
Основания не приведены до конца
В показательных уравнениях 16, 32, 1/8 — это всё степени двойки. Если основания разные (2 и 16), приведите обе части к меньшему основанию, а уже потом приравнивайте показатели.
Примеры с решением
Пример 2. Логарифмическое уравнение
Решите уравнение log₂(4 − x) = 7.
- По определению логарифма: 4 − x = 2⁷ = 128.
- x = 4 − 128 = −124.
- Проверка ОДЗ: 4 − (−124) = 128 > 0. Корень подходит.
Ответ: −124
Пример 3. Иррациональное уравнение
Решите уравнение √(2x + 5) = 3.
- Возводим обе части в квадрат: 2x + 5 = 9.
- x = 2.
- Проверка: √(4 + 5) = √9 = 3. Верно.
Ответ: 2
Частые вопросы
Что делать, если у квадратного уравнения два корня?
Читать условие до конца: там указано, какой корень записать — больший или меньший. Указания нет — значит, после упрощения корень окажется один.
Встречаются ли тригонометрические уравнения в задании 6?
Крайне редко — тригонометрия сосредоточена в задании 13 части 2. Основные типы шестого задания: показательные, логарифмические, иррациональные и рациональные уравнения.
Как тренировать задание 6?
Каждый тип — отдельной серией до автоматизма, затем смешанные подборки, чтобы научиться быстро опознавать тип. Обязательная привычка: проверка корня подстановкой.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык: бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
Попробовать бесплатно3 дня бесплатно · без привязки карты