Пример 1. Разность логарифмов
Найдите значение выражения log₅ 60 − log₅ 12.
- Разность логарифмов — логарифм частного: log₅(60 ÷ 12) = log₅ 5.
- log₅ 5 = 1.
Ответ: 1
Задание 7 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Вычисления и преобразования
Задание 7 — «свернуть выражение»: произведение корней, разность логарифмов, тригонометрическая формула. Считать в лоб здесь нельзя и не нужно — каждое выражение сворачивается одним-двумя школьными свойствами до маленького числа. Кто знает свойства — решает за минуту.
Баллы: 1
Время: ~5 мин
Задание 7 из 19
Что проверяет задание 7
Умение применять свойства степеней, корней и логарифмов и основные тригонометрические формулы для вычисления значений выражений.
Как решать: алгоритм
- Посмотрите на выражение целиком и найдите структуру: одинаковые основания, произведение под корнем, сумма/разность логарифмов.
- Степени: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
- Логарифмы: log_a b + log_a c = log_a(bc), log_a b − log_a c = log_a(b/c), log_a aᵏ = k.
- Тригонометрия: sin²x + cos²x = 1, формулы приведения, периодичность (sin(x + 360°) = sin x).
- Если число получилось «некрасивое» — вы что-то раскрыли вместо того, чтобы свернуть: вернитесь на шаг.
На чём срезаются: типовые ловушки
Логарифмы перемножены вместо сложения показателей
log₅ 60 − log₅ 12 — это log₅(60/12) = log₅ 5 = 1, а не (log₅ 60)/(log₅ 12). Разность логарифмов — логарифм частного; деление логарифмов ни во что простое не сворачивается.
Формула приведения с потерянным знаком
sin(180° − x) = sin x, но cos(180° − x) = −cos x. Проверяйте знак по четверти: во второй четверти косинус отрицателен. Правило «функция меняется при 90° и 270°, знак — по четверти» покрывает все случаи.
Корень из суммы «распался»
√(a + b) ≠ √a + √b — свойство работает только для произведения и частного. Аналогично (a + b)² ≠ a² + b²: не теряйте удвоенное произведение.
Примеры с решением
Пример 2. Степени с дробными показателями
Найдите значение выражения (9^(1/3) · 9^(1/6))².
- При умножении показатели складываются: 1/3 + 1/6 = 1/2, получаем 9^(1/2).
- Возводим в квадрат: (9^(1/2))² = 9¹ = 9.
Ответ: 9
Пример 3. Периодичность синуса
Найдите значение выражения 14·sin 409° ÷ sin 49°.
- 409° = 360° + 49°, а период синуса 360°: sin 409° = sin 49°.
- Выражение равно 14 · sin 49° ÷ sin 49° = 14.
Ответ: 14
Частые вопросы
Какие тригонометрические формулы реально нужны?
Основное тождество sin²x + cos²x = 1, формулы приведения, синус и косинус двойного угла, периодичность и чётность (cos(−x) = cos x, sin(−x) = −sin x). Таблица значений для 30°, 45°, 60° — наизусть.
Как быстро проверить знак в формуле приведения?
Подставьте конкретный маленький угол: для проверки cos(180° − x) возьмите x = 60°, тогда cos 120° = −0,5 = −cos 60°. Тридцать секунд — и знак гарантированно верный.
Как тренировать задание 7?
По одному блоку за серию: день степеней, день логарифмов, день тригонометрии. Цель — узнавать структуру выражения мгновенно, до того как рука потянулась «считать в лоб».
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык: бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
Попробовать бесплатно3 дня бесплатно · без привязки карты