Логотип Репа AI Репа AIподготовка к ЕГЭ
Войти Попробовать бесплатноПопробовать
← Все задания: Математика (профильный уровень)
Задание19

Задача с параметром

ЕГЭ по математике (профильный уровень) · задание 19 из 20

ЕГЭ-2027 · проект ФИПИ · сверено 19.09.2026
Новая нумерация: 20 заданий вместо 19.

Ответ: Развёрнутое решение с обоснованием

Что проверяет задание

Умение исследовать уравнения, неравенства и системы с параметром: находить все значения параметра, при которых выполняется заданное условие о числе или расположении решений.

Задание 19 — задача с параметром на 4 балла, одна из двух самых дорогих в варианте. Вопрос всегда «при каких значениях a…»: уравнение имеет ровно два корня, система — единственное решение. Два школьных пути: аналитический (дискриминант, исследование случаев) и графический (нарисовать семейство графиков и посмотреть, когда картинка удовлетворяет условию). Часто графический короче в разы.

Как решать

  1. Переформулируйте условие на языке графиков: «уравнение f(x) = a имеет 3 корня» означает «горизонтальная прямая y = a пересекает график f ровно трижды».
  2. Постройте график левой части: модули раскрываются по промежуткам, квадратные функции — по вершинам.
  3. Найдите «критические» значения параметра — где прямая проходит через вершины, изломы и точки касания: между ними число решений не меняется.
  4. В аналитическом пути разберите случаи: дискриминант, старший коэффициент при параметре, граничные значения.
  5. Обязательно проверьте граничные значения параметра отдельно — именно они чаще всего теряются или лишний раз включаются.

Попробуйте на примере

Авторские примеры: упражнения тренируют отдельный приём, остальные показывают формат задания.

Упражнение 1 · Один корень квадратного уравнения

При каких значениях параметра a уравнение x² − ax + 9 = 0 имеет ровно один корень?
Показать решение и ответ
  1. Квадратное уравнение имеет один корень при нулевом дискриминанте.
  2. D = a² − 36 = 0.
  3. a = 6 или a = −6.
Ответa = ±6

Упражнение 2 · Графический метод: три корня

При каких значениях a уравнение x² − 4|x| + 3 = a имеет ровно три корня?
Показать решение и ответ
  1. Положим t = |x| ≥ 0. Тогда t² − 4t + 3 = a и t = 2 ± √(a + 1), если a ≥ −1. Положительное t даёт два корня x, нулевое — один.
  2. При a < −1 корней нет; при a = −1 положительное t одно, корней два; при −1 < a < 3 положительных t два, корней четыре; при a = 3 имеем t = 0 и 4, корней три; при a > 3 положительное t одно, корней два.
  3. Проверка: при a = 3 уравнение x² − 4|x| = 0 даёт x = 0, x = ±4 — ровно три корня.
Ответa = 3

Упражнение 3 · Условие на вершину параболы

При каких значениях a вершина параболы y = x² + ax + 3 лежит на оси абсцисс?
Показать решение и ответ
  1. Вершина на оси x означает единственный корень: D = 0.
  2. a² − 12 = 0, откуда a = ±2√3.
Ответa = ±2√3

Где легко ошибиться

Граничные значения параметра потеряны

Ответ «a > 3» и «a ≥ 3» — разные задачи. Каждое граничное значение подставляйте в исходное уравнение и честно пересчитывайте число решений: включение границы — самая частая цена ошибки в 1–2 балла.

Деление на выражение с параметром

Делить на (a − 1) можно только при a ≠ 1, а случай a = 1 нужно разобрать отдельно. Пропущенный «вырожденный» случай (уравнение становится линейным) — классическая потеря.

Графики нарисованы неточно

В графическом методе решают точки касания и вершины — их нужно не «увидеть», а вычислить: касание — через дискриминант или производную, вершину — по формуле. Картинка иллюстрирует, вычисление доказывает.

Частые вопросы

С чего начинать, если задача кажется неприступной?

Перевести условие на графический язык и нарисовать картинку: окружность, модуль, парабола. Даже если решать будете аналитически, картинка покажет, сколько случаев и где границы.

Как оцениваются частичные продвижения?

Задание стоит 4 балла, и 1–2 балла дают за верно разобранную часть случаев или обоснованно найденную часть ответа. Записывайте продвижения аккуратно — «черновой» ход мыслей без обоснований не оценивается.

Закрепите знания на практике

В Репе — короткие уроки, проверка ответа и помощь Помогашки.

Попробовать бесплатно

Смежные задания

16Неравенство 20Числа и их свойства
Об источниках и редакции

Нумерация, форматы ответов и баллы сверены с опубликованными проектами ФИПИ на 2027 год. Примеры авторские: часть показывает формат задания, часть тренирует отдельный приём. Указанное время — учебный ориентир, а не норматив ФИПИ. После утверждения документов нужна повторная сверка.

Источники: ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы · ФИПИ: планируемые изменения ЕГЭ-2027 · Комплект проекта по предмету (архив)

Сверка содержания: . Статус документов — проект.

Обновлено