Задание 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Числа и их свойства
Задание 19 — «олимпиадная» задача о целых числах на 4 балла, обычно из трёх пунктов: а) привести пример, б) доказать, что что-то невозможно, в) найти наибольшее/наименьшее значение. Никакой высшей математики не требуется: работают чётность, признаки делимости, разложение на множители и схема «оценка + пример». Пункт а) почти всегда доступен каждому — это самый честный балл в конце варианта.
Баллы: 4Время: ~25 минЗадание 19 из 19
Что проверяет задание 19
Умение рассуждать о целых числах: делимость и остатки, чётность, оценки, построение примеров и доказательство невозможности.
Как решать: алгоритм
Пункт а): постройте пример подбором — маленькие числа, симметричные наборы, «крайние» конструкции. Пример с проверкой = балл.
Пункт б): ищите инструмент невозможности — чётность (сумма не того типа), делимость (остатки не сходятся), оценка (слишком мало/много).
Пункт в): работайте по схеме «оценка + пример» — докажите, что лучше некоторого значения быть не может, и предъявите пример, где оно достигается.
Записывайте числа алгебраически: последовательные — n, n+1, n+2; двузначное — 10a + b. Условия превращаются в уравнения о целых числах.
Не бойтесь перебора: организованный перебор с явным порядком — полноценное доказательство.
На чём срезаются: типовые ловушки
Пример без проверки
Пример в пункте а) обязан удовлетворять ВСЕМ условиям задачи, и проверку нужно показать. Пример, «который вроде подходит», эксперт перепроверит — и найдёт нарушенное условие.
В пункте в) нет одной из половин
Только пример — нет гарантии, что он лучший; только оценка — нет гарантии достижимости. Полный балл даёт пара «оценка + пример». Пишите обе части явно, даже если одна кажется очевидной.
«Не бывает, я пробовал» вместо доказательства
Перебор без структуры не доказывает невозможность. Нужен аргумент: сумма пяти нечётных чисел нечётна, значит чётной быть не может — вот это доказательство.
Примеры с решением
Пример 1. Сумма последовательных чисел
Можно ли представить число 111 в виде суммы трёх последовательных натуральных чисел? Если да — приведите пример.
Три последовательных числа: n − 1, n, n + 1; их сумма равна 3n.
3n = 111, откуда n = 37 — целое, значит можно.
Пример: 36 + 37 + 38 = 111.
Ответ: да: 36 + 37 + 38
Пример 2. Оценка + пример
Найдите наибольшее трёхзначное число, кратное 11, сумма цифр которого равна 15.
Идём от больших кратных 11 вниз и проверяем сумму цифр: 990 → 18; 979 → 25; 968 → 23; 957 → 21; 946 → 19; 935 → 17; 924 → 15 — подходит.
Все кратные 11 больше 924 проверены и не подошли — это оценка.
Может ли сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?
Пять последовательных чисел: n, n+1, n+2, n+3, n+4; сумма равна 5n + 10 = 5(n + 2).
Сумма делится на 5 и при натуральном n больше 5.
Число, кратное 5 и большее 5, простым не бывает — значит, не может.
Ответ: нет
Частые вопросы
Стоит ли браться за задание 19, если не хватает времени?
За пункт а) — обязательно: пример часто строится за 5–10 минут подбором и приносит 1 балл. Пункты б) и в) берите, если уверенно решены задания 13–17.
Какая теория нужна для задания 19?
Только школьная арифметика: чётность, признаки делимости, деление с остатком, формулы прогрессий, запись числа по разрядам. Решают не знания, а привычка переводить условие в уравнения о целых числах.
Как тренировать задание 19?
Решайте по одной задаче в день, начиная с пунктов а). Разбирайте чужие полные решения: схема «оценка + пример» и стандартные ходы (чётность, остатки) быстро становятся узнаваемыми.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI
Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык:
бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.
