Репа AI
подготовка к ЕГЭ Попробовать бесплатно

Задание 10 ЕГЭ по математике (профильный уровень): Текстовые задачи

Задание 10 — классическая текстовая задача: движение (в том числе по воде), совместная работа, смеси, проценты. У каждого сюжета есть стандартная схема, и всё задание — дисциплина её применения: ввести переменную, составить уравнение, решить, ответить на вопрос (а не на соседний). Уравнения обычно сводятся к квадратным.

Баллы: 1 Время: ~8 мин Задание 10 из 19

Что проверяет задание 10

Умение строить математическую модель по тексту: уравнение или система для задач на движение, совместную работу, смеси и сплавы, проценты и прогрессии.

Как решать: алгоритм

  1. Определите тип: движение, работа, смеси, проценты. Схема зависит от типа.
  2. Введите переменную с ясным смыслом (скорость, время работы, масса вещества) и заполните таблицу «объект — скорость/производительность — время — результат».
  3. Движение: путь = скорость × время; по течению скорости складываются, против — вычитаются.
  4. Работа: складываются производительности (работа в час), а не время. Смеси: считайте массу чистого вещества.
  5. Решив уравнение, отбросьте посторонний корень (отрицательную скорость) и перечитайте вопрос.

На чём срезаются: типовые ловушки

Ответ на промежуточный вопрос

Уравнение составлено относительно скорости первого велосипедиста, а спрашивают второго. После решения вернитесь к тексту: что именно просили найти? Это ошибка №1 в текстовых задачах.

В задачах на работу складывается время

Двое рабочих не делают работу «за сумму времён». Складываются производительности: 1/6 + 1/3 работы в час. Время совместной работы всегда меньше времени самого быстрого работника — проверяйте этим ответ.

Проценты усреднены «на глаз»

Смесь 30%-го и 60%-го растворов не обязана быть 45%-й — всё решают массы. Считайте килограммы чистого вещества в каждой части: они сохраняются при смешивании.

Примеры с решением

Пример 1. Смеси

Смешали 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и получили 300 г 40-процентного раствора. Сколько граммов 30-процентного раствора взяли?
  1. Пусть 30%-го взяли x г, тогда 60%-го — (300 − x) г.
  2. Чистая кислота: 0,3x + 0,6(300 − x) = 0,4 · 300 = 120.
  3. 180 − 0,3x = 120, откуда 0,3x = 60, x = 200.
Ответ: 200

Пример 2. Совместная работа

Пётр и Иван, работая вместе, выполняют заказ за 2 часа. Иван, работая один, тратит на весь заказ на 3 часа больше, чем Пётр. За сколько часов выполнит заказ Иван, работая один?
  1. Пусть Пётр делает заказ за x часов, Иван — за (x + 3) часа.
  2. Производительности складываются: 1/x + 1/(x + 3) = 1/2.
  3. Приводим: 2(x + 3) + 2x = x(x + 3) → x² − x − 6 = 0 → x = 3 (x = −2 отброшен).
  4. Иван работает x + 3 = 6 часов.
Ответ: 6

Пример 3. Движение

Расстояние между городами A и B равно 120 км. Обратный путь автомобиль проехал со скоростью на 10 км/ч больше и потратил на 1 час меньше. Найдите скорость автомобиля на пути из A в B (в км/ч).
  1. Пусть скорость туда x км/ч. Тогда 120/x − 120/(x + 10) = 1.
  2. 120(x + 10) − 120x = x(x + 10) → x² + 10x − 1200 = 0.
  3. x = (−10 + 70)/2 = 30 (отрицательный корень отброшен).
Ответ: 30

Частые вопросы

Какие сюжеты встречаются в задании 10 чаще всего?

Движение навстречу и вдогонку, движение по воде, совместная работа и трубы, смеси и сплавы, проценты и вклады. Изредка — прогрессии. Каждый тип имеет одну стандартную схему решения.

Всегда ли получается квадратное уравнение?

Почти всегда — либо квадратное, либо сводящееся к нему дробно-рациональное. Один корень будет посторонним (отрицательная скорость или время) — его отбрасывают с пояснением для себя.

Как тренировать задание 10?

По типам, с обязательной таблицей «скорость — время — путь» на черновике. После 10 задач одного типа схема запоминается насовсем, и остаётся только аккуратность.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе с Репой AI

Математика (профильный уровень) скоро появится в Репе AI. Уже сейчас на платформе — математика (база) и русский язык: бесконечные свежие задачи, мгновенная проверка, разбор каждой ошибки ИИ-репетитором Помогашкой.

Попробовать бесплатно
3 дня бесплатно · без привязки карты

Смежные задания

Задание 9Задачи с прикладным содержанием Разбор, ловушки и примеры Задание 16Экономическая задача Разбор, ловушки и примеры