Задание 9 ЕГЭ по математике (базовый уровень): Задачи на квадратной решётке
В задании 9 фигура нарисована на клетчатой бумаге с клеткой 1×1, и нужно найти её площадь или длину отрезка. Все данные снимаются прямо с рисунка: основания и высоты считаются по клеткам. Для «неудобных» наклонных фигур работает школьный приём достроения: обвести фигуру прямоугольником и вычесть лишние треугольники по углам.
Баллы: 1Время: ~5 минЗадание 9 из 21
Что проверяет задание 9
Умение находить площади треугольников, четырёхугольников и составных фигур на клетчатой бумаге: по школьным формулам площади, достроением до прямоугольника или разбиением на простые части.
Как решать: алгоритм
Определите фигуру и посмотрите, можно ли снять с клеток основание и высоту напрямую.
Если да — применяйте формулу: треугольник S = ½·a·h, параллелограмм S = a·h, трапеция S = ½·(a+b)·h.
Если фигура «кривая» — достройте её до прямоугольника и вычтите площади лишних прямоугольных треугольников по углам.
Составную фигуру можно, наоборот, разрезать на прямоугольники и прямоугольные треугольники и сложить их площади.
Сверьте ответ прикидкой: посчитайте целые клетки внутри фигуры — площадь должна быть близкой.
На чём срезаются: типовые ловушки
Высота не по клеткам
Основание и высота считаются по линиям сетки только если они горизонтальны или вертикальны. Наклонная сторона длиной «3 клетки по диагонали» — это не 3, а 3√2. Для наклонных фигур используйте достроение до прямоугольника.
Забыта половина в площади треугольника
S = ½·a·h. Перемножить основание на высоту и забыть разделить на два — самая массовая ошибка задания. Прикидка по клеткам её мгновенно ловит.
При достроении вычтены не все «уголки»
Обвели фигуру прямоугольником — вычитайте ВСЕ лишние части: у наклонного треугольника их обычно три. Пропущенный уголок завышает площадь; проверяйте, что каждый угол прямоугольника учтён.
Примеры с решением
Пример 1. Треугольник по основанию и высоте
На клетчатой бумаге с клеткой 1×1 изображён треугольник: горизонтальное основание 6 клеток, высота к нему 4 клетки. Найдите площадь треугольника.
Основание a = 6, высота h = 4 — обе снимаются по клеткам.
S = ½ × 6 × 4 = 12.
Ответ: 12
Пример 2. Достроение до прямоугольника
На клетчатой бумаге с клеткой 1×1 изображён наклонный треугольник с вершинами в точках (0;0), (4;1) и (1;3). Найдите его площадь.
Ни одна сторона не идёт по линиям сетки — обводим треугольник прямоугольником 4×3 (площадь 12).
На клетчатой бумаге с клеткой 1×1 изображён параллелограмм: горизонтальное основание 5 клеток, высота между основаниями 3 клетки. Найдите площадь.
Для параллелограмма S = a × h — без половины.
S = 5 × 3 = 15.
Половина нужна только треугольнику: параллелограмм — это два таких треугольника.
Ответ: 15
Частые вопросы
Когда пользоваться формулой площади, а когда достроением?
Если основание и высота лежат на линиях сетки — обычная школьная формула быстрее. Если фигура наклонная — достройте её до прямоугольника по линиям сетки и вычтите прямоугольные «уголки»: все длины снова считаются по клеткам.
Как найти длину наклонного отрезка на клетчатой бумаге?
По теореме Пифагора: отрезок — гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого считаются по клеткам. Отрезок «3 клетки вправо и 4 вверх» имеет длину √(3² + 4²) = 5.
Как тренировать задание 9?
Решать фигуры всех типов — прямые, наклонные, составные — и каждый раз сверять ответ прикидкой по клеткам. В Репе AI задание 9 генерируется бесконечно, с мгновенной проверкой ответа.
Отработайте задание 9 до автоматизма
Репа AI генерирует бесконечные свежие задачи в формате задания 9, мгновенно проверяет ответ,
а ИИ-репетитор Помогашка разбирает каждую ошибку. Тепловая карта покажет, когда тема закрыта.
