Пример 1. Объём пирамиды
Площадь основания пирамиды равна 18, высота равна 5. Найдите объём пирамиды.
- V = ⅓ × S × h.
- V = ⅓ × 18 × 5 = 30.
Ответ: 30
Задание 13 ЕГЭ по математике (базовый уровень): Задачи по стереометрии
Задание 13 — стереометрия в чистом виде: объёмы и элементы многогранников и тел вращения. В отличие от прикладного задания 11, здесь бытовой обёртки нет, зато появляются пирамида, конус и диагонали. Весь необходимый арсенал — пять формул объёма и теорема Пифагора в пространстве.
Баллы: 1
Время: ~8 мин
Задание 13 из 21
Что проверяет задание 13
Знание формул объёма призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара, соотношений между телами (конус и цилиндр с общим основанием) и умение находить диагонали параллелепипеда.
Как решать: алгоритм
- Определите тело: призма/цилиндр (V = S·h) или пирамида/конус (V = ⅓·S·h) — множитель ⅓ появляется у «заострённых» тел.
- Выпишите, что известно: площадь основания, высота, рёбра.
- Подставьте в формулу; если известны отдельные размеры основания — сначала найдите его площадь.
- Для диагонали прямоугольного параллелепипеда: d² = a² + b² + c².
- Сравнивая два тела, ищите общие элементы: конус, вписанный в цилиндр с тем же основанием и высотой, втрое меньше по объёму.
На чём срезаются: типовые ловушки
Потерянная одна треть
Пирамида и конус — V = ⅓·S·h. Забыть ⅓ — значит завысить объём втрое. Мнемоника: у тел «с остриём» объём втрое меньше, чем у «полных» с тем же основанием и высотой.
Диагональ через два квадрата вместо трёх
Диагональ параллелепипеда — это пространственная диагональ: d² = a² + b² + c², три слагаемых. Два слагаемых дают диагональ грани, а не тела.
Радиус вместо диаметра
В формулах стоит радиус: V = πr²h. Если в условии дан диаметр — сначала поделите на два, иначе объём завысится вчетверо.
Примеры с решением
Пример 2. Конус внутри цилиндра
Объём цилиндра равен 36. Найдите объём конуса, имеющего то же основание и ту же высоту, что и цилиндр.
- При одинаковых основании и высоте объём конуса втрое меньше объёма цилиндра.
- 36 ÷ 3 = 12.
Ответ: 12
Пример 3. Диагональ параллелепипеда
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3 и 6. Найдите диагональ параллелепипеда.
- d² = a² + b² + c² = 2² + 3² + 6² = 4 + 9 + 36 = 49.
- d = √49 = 7.
Ответ: 7
Частые вопросы
Какие формулы объёма нужно знать для задания 13?
Пять: призма и цилиндр V = S·h; пирамида и конус V = ⅓·S·h; шар V = 4/3·πR³. Плюс диагональ параллелепипеда d² = a² + b² + c² — по сути, теорема Пифагора дважды.
Даются ли формулы в справочных материалах на экзамене?
Да, в КИМ базового ЕГЭ есть справочные материалы с основными формулами. Но искать формулу на экзамене — потеря времени: пять формул объёма быстрее выучить.
Как тренировать задание 13?
По типам: серия на объёмы с прямой подстановкой, серия на сравнение тел, серия на диагонали. В Репе AI задание 13 генерируется бесконечно, а тепловая карта покажет, когда тема действительно закрыта.
Отработайте задание 13 до автоматизма
Репа AI генерирует бесконечные свежие задачи в формате задания 13, мгновенно проверяет ответ, а ИИ-репетитор Помогашка разбирает каждую ошибку. Тепловая карта покажет, когда тема закрыта.
Попробовать бесплатно3 дня бесплатно · без привязки карты