Задание 10 ЕГЭ по математике (базовый уровень): Прикладная геометрия
Задание 10 — геометрия, переодетая в жизнь: лестница у стены, тень от дерева, столб с оттяжкой. За каждым сюжетом прячется одна из двух конструкций — прямоугольный треугольник (теорема Пифагора) или пара подобных треугольников (пропорция). Научитесь видеть треугольник в картинке — и задание станет механическим.
Баллы: 1Время: ~6 минЗадание 10 из 21
Что проверяет задание 10
Умение применять теорему Пифагора и подобие треугольников в практических задачах: находить недостающую сторону, высоту объекта по тени, расстояние.
Как решать: алгоритм
Сделайте схему: отметьте прямые углы (стена ⊥ земле, столб ⊥ земле) и известные длины.
Если в схеме один прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами — теорема Пифагора: c² = a² + b².
Определите, что ищете: гипотенуза (сумма квадратов) или катет (разность квадратов).
Если два похожих треугольника (предмет и его тень, человек и дерево) — подобие: соответственные стороны пропорциональны.
Проверьте правдоподобие: высота дерева 6 м — нормально, 60 м — где-то потерян порядок.
На чём срезаются: типовые ловушки
Катет посчитан как гипотенуза
Гипотенуза — всегда напротив прямого угла и всегда длиннее катетов. Если ищете катет, квадраты вычитаются: b² = c² − a². Сложить вместо вычитания — типовая ошибка в задачах про лестницу.
Пропорция составлена крест-накрест
В подобии соответственные стороны — «высота к высоте, тень к тени»: h₁/h₂ = l₁/l₂. Перепутать, что чему соответствует, — значит получить перевёрнутый ответ.
Разные единицы в одной задаче
Рост человека в метрах, тень в сантиметрах — приведите всё к одной единице до подстановки, иначе пропорция даст бессмыслицу.
Примеры с решением
Пример 1. Теорема Пифагора: лестница
Лестница длиной 2,5 м приставлена к стене так, что её нижний конец находится в 1,5 м от стены. На какой высоте (в метрах) находится верхний конец лестницы?
Лестница — гипотенуза (2,5), расстояние от стены — катет (1,5), высота — второй катет.
h² = 2,5² − 1,5² = 6,25 − 2,25 = 4.
h = √4 = 2 м.
Ответ: 2
Пример 2. Подобие: тень
Человек ростом 1,8 м отбрасывает тень длиной 3 м. В тот же момент дерево отбрасывает тень длиной 10 м. Найдите высоту дерева (в метрах).
Солнечные лучи параллельны, треугольники подобны: высота/тень одинакова для всех предметов.
Коэффициент: 1,8 ÷ 3 = 0,6.
Высота дерева: 10 × 0,6 = 6 м.
Ответ: 6
Пример 3. Пифагор: гипотенуза
Столб высотой 4 м укреплён тросом, натянутым от вершины столба до точки на земле в 3 м от его основания. Найдите длину троса (в метрах).
Столб и земля образуют прямой угол: катеты 4 и 3, трос — гипотенуза.
c² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
c = √25 = 5 м. (Классический «египетский» треугольник 3–4–5.)
Ответ: 5
Частые вопросы
Что нужно помнить наизусть для задания 10?
Теорему Пифагора (c² = a² + b²), идею подобия (стороны пропорциональны) и пары квадратов: 3–4–5, 6–8–10, 5–12–13 часто встречаются в условиях и экономят время на извлечении корня.
Как понять, Пифагор здесь или подобие?
Один треугольник, известны две стороны — Пифагор. Два предмета в одинаковых условиях (две тени, столб и его модель) — подобие. Схема на черновике делает выбор очевидным.
Как тренировать задание 10?
Решать сюжеты пачками: лестницы, тени, тросы, провода. В Репе AI под задание 10 генерируются свежие условия с проверкой, а встроенный черновик позволяет рисовать схему прямо в браузере.
Отработайте задание 10 до автоматизма
Репа AI генерирует бесконечные свежие задачи в формате задания 10, мгновенно проверяет ответ,
а ИИ-репетитор Помогашка разбирает каждую ошибку. Тепловая карта покажет, когда тема закрыта.
