Пример 1. Сумма углов треугольника
Два угла треугольника равны 40° и 60°. Найдите третий угол. Ответ дайте в градусах.
- Сумма углов треугольника 180°.
- Третий угол: 180 − 40 − 60 = 80°.
Ответ: 80
Задание 12 ЕГЭ по математике (базовый уровень): Планиметрия
Задание 12 — «чистая» планиметрия без прикладной обёртки: найти угол или сторону в треугольнике, четырёхугольнике или окружности. Круг используемых фактов невелик: сумма углов треугольника, свойства равнобедренного треугольника, параллельные прямые и вписанные углы. Задание решается за пару минут тем, кто держит эти пять-шесть фактов наготове.
Баллы: 1
Время: ~7 мин
Задание 12 из 21
Что проверяет задание 12
Знание базовых фактов планиметрии: сумма углов треугольника, свойства равнобедренного треугольника, углы при параллельных прямых, соотношение вписанного и центрального углов.
Как решать: алгоритм
- Сделайте чертёж и подпишите все известные углы и стороны.
- Вспомните «якорные» факты: сумма углов треугольника 180°, смежные углы дают 180°, вертикальные равны.
- Равнобедренный треугольник: углы при основании равны; сумма всех трёх по-прежнему 180°.
- Окружность: вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
- Двигайтесь от известного к неизвестному по одному шагу, записывая каждый найденный угол на чертёж.
На чём срезаются: типовые ловушки
В равнобедренном треугольнике «не те» углы равны
Равны углы при основании — напротив равных сторон. Если дан угол при вершине 40°, то углы при основании — (180° − 40°) ÷ 2 = 70° каждый, а не 40°.
Вписанный и центральный перепутаны
Вписанный угол — половина центрального, а не наоборот. Центральный 80° → вписанный на той же дуге 40°. Проверка: вписанный всегда меньше или равен центральному на той же дуге.
Ответ в чужих единицах
Если угол просят в градусах — знак градуса не пишется, только число. А если в задаче на стороны просили периметр — не остановитесь на найденной стороне.
Примеры с решением
Пример 2. Равнобедренный треугольник
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите угол при основании. Ответ дайте в градусах.
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
- На них остаётся 180 − 40 = 140°.
- Каждый: 140 ÷ 2 = 70°.
Ответ: 70
Пример 3. Вписанный и центральный углы
Центральный угол окружности равен 80°. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
- Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
- 80 ÷ 2 = 40°.
Ответ: 40
Частые вопросы
Какие факты нужно выучить для задания 12?
Короткий список: сумма углов треугольника 180°, смежные углы 180°, вертикальные равны, свойства равнобедренного треугольника, накрест лежащие углы при параллельных прямых, вписанный угол — половина центрального, угол на диаметре — прямой.
Обязательно ли делать чертёж?
Да, даже к простой задаче: подписанный чертёж превращает цепочку рассуждений в механическое заполнение углов. Большинство ошибок в задании 12 — от решения «в уме» без рисунка.
Как тренировать задание 12?
Прорешать по серии задач на каждый факт: отдельно углы треугольника, отдельно равнобедренный, отдельно окружность. В Репе AI задание 12 генерируется бесконечно, с разбором каждого шага от Помогашки.
Отработайте задание 12 до автоматизма
Репа AI генерирует бесконечные свежие задачи в формате задания 12, мгновенно проверяет ответ, а ИИ-репетитор Помогашка разбирает каждую ошибку. Тепловая карта покажет, когда тема закрыта.
Попробовать бесплатно3 дня бесплатно · без привязки карты