Пример 1. Произведение корней
Найдите значение выражения √48 · √3.
- Сводим под один корень: √48 · √3 = √(48 × 3) = √144.
- √144 = 12.
Ответ: 12
Задание 16 ЕГЭ по математике (базовый уровень): Вычисления и преобразования
Задание 16 — вычисления «старшей школы»: корни, степени с дробными показателями, логарифмы, изредка тригонометрия. Пугает названиями, но решается тремя-четырьмя свойствами, применёнными по одному разу. Ключ — не вычислять «в лоб», а сворачивать выражение по свойствам до маленького числа.
Баллы: 1
Время: ~6 мин
Задание 16 из 21
Что проверяет задание 16
Умение применять свойства корней (√a·√b = √(ab)), степеней (aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) и логарифмов (log_a a^k = k) для вычисления значений выражений.
Как решать: алгоритм
- Посмотрите на выражение целиком: почти всегда оно «сворачивается» — произведение корней, сумма показателей, логарифм от степени основания.
- Корни: √a · √b = √(a·b); √(a²) = |a|. Сводите под один корень до красивого квадрата.
- Степени: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении — перемножаются.
- Логарифмы: log_a a^k = k. Представьте аргумент как степень основания — и логарифм превратится в показатель.
- Если получилось некрасивое число — вернитесь на шаг: в базовом ЕГЭ ответ всегда «чистый».
На чём срезаются: типовые ловушки
Корень из суммы «распался» на сумму корней
√(a + b) ≠ √a + √b. Свойство работает только для произведения и частного. √(9 + 16) = √25 = 5, а не 3 + 4 = 7.
Логарифм посчитан как деление
log₅ 125 — это не 125 ÷ 5. Это вопрос «в какую степень возвести 5, чтобы получить 125?». Ответ 3, потому что 5³ = 125.
Показатели перемножены вместо сложения
7^1,4 · 7^0,6 = 7^(1,4+0,6) = 7² — показатели складываются при умножении. Перемножение показателей происходит только при возведении степени в степень: (7^1,4)^0,6.
Примеры с решением
Пример 2. Логарифм
Найдите значение выражения log₅ 125.
- Представляем аргумент как степень основания: 125 = 5³.
- log₅ 5³ = 3.
Ответ: 3
Пример 3. Степени с дробными показателями
Найдите значение выражения 7^1,4 · 7^0,6.
- Основания одинаковые, при умножении показатели складываются: 1,4 + 0,6 = 2.
- 7² = 49.
Ответ: 49
Частые вопросы
Нужна ли тригонометрия в задании 16?
Иногда встречаются простейшие значения: sin 30° = 0,5, cos 60° = 0,5, sin² x + cos² x = 1. Таблицу значений для 30°, 45°, 60° стоит знать, но основная масса вариантов — корни, степени и логарифмы.
Что делать, если логарифмы совсем не понятны?
Держитесь одного определения: log_a b — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b. Все задачи базового уровня решаются прямым применением этого определения.
Как тренировать задание 16?
По одному свойству за серию: день на корни, день на степени, день на логарифмы. В Репе AI задание 16 генерируется бесконечно, а Помогашка напомнит нужное свойство, если решение застряло.
Отработайте задание 16 до автоматизма
Репа AI генерирует бесконечные свежие задачи в формате задания 16, мгновенно проверяет ответ, а ИИ-репетитор Помогашка разбирает каждую ошибку. Тепловая карта покажет, когда тема закрыта.
Попробовать бесплатно3 дня бесплатно · без привязки карты